Элементы математической статистики

M = 2, n = 3. Получим таблицу:
i 1 2 3 4 5 6 7 8
-1;1,5 1,5;4 4;6,5 6,5;9 9;11,5 11,5;14 14;16,5 16,5;19
4 7 13 26 25 16 6 3
Объем выборки , длина интервала . Для нахождения эмпирической функции распределения , построения гистограммы относительных частот и вычисления числовых характеристик выборки дополним заданную таблицу следующими строками: строкой, в которой расположим средние точки каждого интервала, строкой относительных частот , строкой накопленных относительных частот и строкой, в которой вычислим высоты столбиков гистограммы относительных частот .
Таблица 1
i 1 2 3 4 5 6 7 8
-1;1,5 1,5;4 4;6,5 6,5;9 9;11,5 11,5;14 14;16,5 16,5;19
4 7 13 26 25 16 6 3
0,25 2,75 5,25 7,75 10,25 12,75 15,25 17,75
0,04 0,07 0,13 0,26 0,25 0,16 0,06 0,03
0,04 0,11 0,24 0,5 0,75 0,91 0,97 1
0,016 0,028 0,052 0,104 0,1 0,064 0,024 0,012
1. Эмпирическая функция распределения определяется по значениям накопленных относительных частот, которые расположены в шестой строке таблицы 1. Эта функция имеет скачки в точках – серединах интервалов группированного статистического ряда.
Аналитическое выражение эмпирической функции распределения имеет вид:
График эмпирической функции распределения изображен на рис. 1.

Рис. 1
2. Построим гистограмму относительных частот, для этого на каждом интервале группированной выборки строим столбики, высоты которых вычислены в седьмой строке таблицы 1. График гистограммы изображен на рис. 2.

Рис. 2
3. Найдем числовые характеристики выборки . Выборочное среднее находим по формуле , в нашем случае
Исправленную выборочную дисперсию находим по формуле , в нашем случае
4. При большом объеме выборки доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
.
Используя таблицу значений функции Лапласа находим
Вычислим , тогда доверительный интервал для математического ожидания имеет вид
5. Выдвигаем простую гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности. В качестве критерия проверки справедливости гипотезы выбирается случайная величина
,
где находятся по формуле вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе. Если использовать таблицу значений функции Лапласа , то вероятности попадания случайной величины в интервал в предположении гипотезы о нормальном законе распределения находится по формуле . Для соблюдения условия полагают , .
Для вычисления критерия составим расчетную таблицу:
Таблица 2
I 1 2 3 4 5 6 7 8
-1;1,5 1,5;4 4;6,5 6,5;9 9;11,5 11,5;14 14;16,5 16,5;19
4 7 13 26 25 16 6 3
0,25 2,75 5,25 7,75 10,25 12,75 15,25 17,75
1,5 4 6,5 9 11,5 14 16,5 
- 1,5 4 6,5 9 11,5 14 16,5
-1,8945 -1,2587 -0,6230 0,0127 0,6484 1,2842 1,9199 
- -1,8945 -1,2587 -0,6230 0,0127 0,6484 1,2842 1,9199
-0,4709 -0,3959 -0,2334 0,0051 0,2416 0,4005 0,4726 0,5
-0,5 -0,4709 -0,3959 -0,2334 0,0051 0,2416 0,4005 0,4726
0,029 0,075 0,163 0,238 0,237 0,159 0,072 0,027
2,9 7,5 16,3 23,8 23,7 15,9 7,2 2,7
10,4 16,3 23,8 23,7 15,9 10,0

0,59 -3,26 2,16 1,34 0,12 -1,0

0,353 10,612 4,651 1,802 0,014 0,910

0,034 0,653 0,195 0,076 0,001 0,091
Находим сумму элементов 11-ой и 12-ой строк таблицы 2, получаем .
Критерий равен сумме элементов последней строки таблицы 2:
= 0,034+0,653+0,195+0,076+0,001+0,091 = 1,050
Находим критическую область