Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике шириной l

Вероятность dW обнаружить частицу в интервале от x до x+∆x (в одномерном случае) выражается формулой dW=ψx2dx, где ψx2 – плотность вероятности.
Так как частица находится в потенциальном ящике шириной l, то
ψx=Csinπnlx
Поэтому
ψx2=C2sin2πnlx
Так как n=2, то
W1=C2sin22πlx
Для другого уровня n=3
W2=C2sin23πlx
Из условия задачи видно, что W1=W2, тогда
C2sin22πlx=C2sin23πlx
sin2πlx=sin3πlx
Уравнение имеет вид при ±2πlx=±3πlx
То есть
2πlx+nπ=3πlx
Отсюда
x=nl
Решение данного уравнения равно x=0 и x=l.
Второе решение:
-2πlx+nπ=3πlx
Отсюда
x=nl5
Поэтому
x=0;l5;2l5;3l5;4l5;l
Плотность вероятности в этих точках будет равна
ψ02=C2sin22πl∙0=0
ψl52=C2sin22πl∙l5=0,905∙C2
ψ2l52=C2sin22πl∙2l5=0,345∙C2
ψ3l52=C2sin22πl∙3l5=0,345∙C2
ψ4l52=C2sin22πl∙4l5=0,905∙C2
ψl2=C2sin22πl∙l=0
Ответ: плотности вероятности нахождения электрона на втором и третьем энергетических уровнях одинаковы в точках x=0;l5;2l5;3l5;4l5;l.