Экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы, но не более n=5. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный вопрос, равна p=0,98. Экзаменатор прекращает опрос, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса.
Требуется:
1) составить закон распределения ДСВ X – числа дополнительных вопросов, которые задает преподаватель;
2) представить закон распределения графически;
3) составить функцию распределения Fx и построить ее график;
4) вычислить начальные и центральные моменты СВ X до 4-го порядка включительно, коэффициент асимметрии и эксцесса;
5) указать числовые характеристики, которые описывают положение центра распределения и рассеивания СВ относительно ее среднего значения;
6) объяснить, какое распределение вероятностей называется биномиальным, Пуассона и геометрическим. Чему равны числовые характеристики этих распределений.
Решение
1) Т.к. вероятность того, что студент ответит на заданный вопрос, равна p=0,98, то вероятность не ответить на вопрос равна q=1-p=0,02.
ДСВ X – числа дополнительных вопросов, которые задает преподаватель может принимать значения от 1 до 5. Вычислим соответствующие вероятности:
- x=1, т.е. на первый же вопрос студент не дал ответа:
px=1=q=0,02
- x=2, т.е. на первый вопрос студент ответил, а на второй – нет:
px=2=pq=0,98∙0,02=0,0196
- x=3, т.е. на первые два вопроса студент ответил, а на третий – нет:
px=3=p2q=0,982∙0,02=0,019208
- x=4, т.е. на первый три вопроса студент ответил, а на четвертый – нет:
px=4=p3q=0,983∙0,02=0,018824
- x=5, т.е. студент ответил на четыре заданных вопроса (ответ на пятый вопрос не влияет, т.к. в любом случае преподаватель заканчивает опрос):
px=5=p4=0,984=0,922368
Проверим правильность вычислений:
ipx=i=0,02+…+0,922368=1
Получили следующий закон распределения ДСВ X – числа дополнительных вопросов, которые задает преподаватель:
x
1 2 3 4 5
px
0,02 0,0196 0,019208 0,018824 0,922368
2) Графически (в виде многоугольника распределения):
3) Функция распределения выражает вероятность того, случайная величина примет значение, меньшее x:
Fx=P(X<x)
Поэтому имеем:
Fx=0;x≤10,02;1<x≤20,0396;2<x≤30,058808;3<x≤40,077632;4<x≤51;x>5
Графически:
4) Начальным моментом порядка k случайной величины называется число mk=M(xk), для дискретной величины:
mk=ixikp(xi)
Поэтому имеем:
m1=ixip(xi)=1∙0,02+…+5∙0,922368≈4,8040
m2=ixi2p(xi)=12∙0,02+…+52∙0,922368≈23,6317
m3=ixi3p(xi)=13∙0,02+…+53∙0,922368≈117,1962
m4=ixi4p(xi)=13∙0,02+…+54∙0,922368≈583,1885
Центральным моментом порядка k случайной величины называется число μk=Mx-Mxk, для дискретной величины:
μk=i(xi-M(x))kp(xi)
Центральный момент первого порядка для любой величины:
μ1=0
Для центральных моментов старших порядков можно воспользоваться формулами связи центральных и начальных моментов:
μ2=m2-m12=23,6317-4,80402≈0,5533
μ3=m3-m12μ2+m2=117,1962-4,8040∙2∙0,5533+23,6317≈-1,6464
μ4=m4-2m1μ3+m3+m14=
=583,1885-2∙4,8040∙-1,6464+117,1962+4,80404≈5,5997
Коэффициент асимметрии:
Ax=μ3μ23=-1,64640,55333≈-4,0006
Коэффициент эксцесса:
Ex=μ4μ22-3=5,59970,55332-3≈15,2923
5) указать числовые характеристики, которые описывают положение центра распределения и рассеивания СВ относительно ее среднего значения;
Начальный момент первого порядка (математическое ожидание случайной величины) является основной характеристикой, указывающей положение центра рассеивания случайной величины.
Центральный момент второго порядка (дисперсия случайной величины) является основной характеристикой, характеризующей степень разброса или рассеивание случайной величины около её центра рассеивания.
6) Биномиальным называют распределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких, что вероятность «успеха» в каждом из них постоянна и равна p
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
