Эконометрический анализ на основе модели многофакторной регрессии

1. Находим параметры модели множественной регрессии ŷ = a + b1 · x1 + b2 · x2 методом наименьших квадратов при n = 15:
n · a + Σx1 · b1 + Σx2 · b2 = Σy,
Σx1 · a + Σx12 · b1 + Σx1·x2 · b2 = Σx1·y,
Σx2 · a + Σx1·x2 · b1 + Σx22 · b2 = Σx2·y.
Расчеты представлены в таблице:
Получаем систему уравнений:
15 · a + 1155,3 · b1 + 330,7 · b2 = 12,69;
1155,3 · a + 89802,89 · b1 + 24980,56 · b2 = 976,6132;
330,7 · a + 24980,56 · b1 + 7935,29 · b2 = 275,3473.
Находим решение системы с помощью функций MS Excel “МОБР” и “МУМНОЖ”. Оценки параметров уравнения регрессии таковы:
a = 1,860599; b1 = –0,009205; b2 = –0,013864. 
Регрессионная модель имеет вид:
ŷ = 1,860599 – 0,009205 · x1 – 0,013864 · x2.
Коэффициент регрессии b1 = –0,009205. Это значит, что при увеличении расходов на конечное потребление на единицу при неизменном значении валовых накоплений индекс человеческого развития в среднем уменьшится на 0,009205 единиц.
Коэффициент регрессии b2 = –0,013864. Это значит, что при увеличении валовых накоплений на единицу при неизменных расходах на конечное потребление индекс человеческого развития в среднем уменьшится на 0,013864 единиц.
Значение коэффициента регрессии b = –0,000938, найденного для парной модели, увеличилось по модулю почти на порядок b1 = –0,009205.
2. а). Находим парные коэффициенты корреляции, используя функцию MS Excel “КОРРЕЛ”: rx1x2 = –0,673296; ryx1 = –0,080347; ryx2 = –0,520953. 
Для дальнейших вычислений нужны:
r2x1x2 = (–0,673296)2 = 0,453327;
r2yx1 = (–0,080347)2 = 0,006456;
r2yx2 = (–0,520953)2 = 0,271392;
rx1x2 · ryx1 · ryx2 = (–0,673296) · (–0,080347) · (–0,520953) = –0,028182.  
б). Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает коэффициент множественной корреляции Ryx1x2, принимающий значения от 0 до 1 (поэтому он не может быть использован для интерпретации направления связи). Чем ближе значение Ryx1x2 к единице, тем факторы сильнее влияют на результирующую переменную. Этот коэффициент вычисляется по формуле:
Ryx1x2 = (ryx12+ryx22-2∙ryx1∙ryx2∙rx1x2)/(1-rx1x22) .
Получаем:
Ryx1x2=(0,006456+0,271392+2∙0,028182)/(1-0,453327)=0,781892.
Так как Ryx1x2 = 0,781892 приближен к единице, то линейная связь между индексом человеческого развития и совместным влиянием расходов на конечное потребление и валовых накоплений достаточно тесная. Замечаем также, что множественный коэффициент корреляции Ryx1x2 = 0,781892 незначительно превосходит по модулю один из парных коэффициентов корреляции ryx2 = –0,520953. Это может говорить о незначительном вкладе первого фактора в модель множественной регрессии.
в). Множественный коэффициент детерминации показывает долю вариации результирующего признака из-за воздействия факторных признаков: R2yx1x2 = (0,781892)2 = 0,611355. 
Это значит, что совместное влияние расходов на конечное потребление и валовых накоплений объясняет около 61% изменения индекса человеческого развития.
Если сравнить коэффициент детерминации R2 = 0,006456, найденный для парной регрессии, с множественным коэффициентом детерминации R2yx1x2 = 0,611355, то можно сделать вывод о некотором улучшении модели после добавления второго фактора.
г). При добавлении очередного фактора в модель величина R2yx1x2 всегда растет, но это не всегда говорит об улучшении качества получаемой эконометрической модели. Устранить этот эффект помогает коррекция коэффициента детерминации .
Скорректированный (нормированный) коэффициент детерминации имеет следующий вид: R2скор = 1 – (n – 1) / (n – k – 1) · (1 – R2yx1x2), где n = 15 – объем выборки; k = 2 – число факторов в уравнении регрессии.
Для нашего случая имеем:
R2скор = 1 – 14 / 12 · (1 – 0,611355) = 0,546581.
Если теперь для сравнения коэффициентов детерминации использовать скорректированный коэффициент R2скор = 0,546581, то и в этом случае можно сделать вывод об улучшении общего качества модели после введения второго фактора.
д). Большое значение парного коэффициента корреляции между результирующим признаком и каким-либо объясняющим фактором не обязательно означает их высокую коррелированность. Может существовать некоторая третья переменная, оказывающая влияние на эти две переменные, что и приводит к завышенному значению парного коэффициента корреляции. Поэтому целесообразно искать чистую корреляцию между двумя переменными, исключив линейное влияние других факторов.
Частные коэффициенты корреляции отличаются от соответствующих парных коэффициентов тем, что они измеряют корреляцию при условии, что влияние остальных факторов устранено:
1) устранено влияние второго фактора – ryx1(x2) = (ryx1 – ryx2 · rx1x2) / z1, где z1 = (1-ryx22)∙(1-rx1x22) ;
2) устранено влияние первого фактора – ryx2(x1) = (ryx2 – ryx1 · rx1x2) / z2, где z2 = (1-ryx12)∙(1-rx1x22) .
Получаем:
1) z1 = (1-0,271392)∙(1-0,453327) = 0,631118;
ryx1(x2) = (–0,080347 – 0,520953 · 0,673296) / 0,631118 = –0,683076;
2) z2 = (1-0,006456)∙(1-0,453327) = 0,736983;
ryx2(x1) = (–0,520953 – 0,080347 · 0,673296) / 0,736983 = –0,780275.
Сравниваем частные коэффициенты корреляции с соответствующими парными коэффициентами корреляции:
1) ryx1(x2) = –0,683076 и ryx1 = –0,080347;
2) ryx2(x1) = –0,780275 и ryx2 = –0,520953.
Сравнение говорит о том, что существует некоторая третья переменная, которая оказывает сильное влияние на первый фактор, а также не очень сильное влияние на второй фактор.
е). Влияние отдельных факторов в многофакторной модели может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности:
Эyx1(x2) = b1 · x̄1 / ȳ; Эyx2(x1) = b2 · x̄2 / ȳ.
Здесь средние величины равны:
x̄1 = Σx1 / n = 1155,3 / 15 = 77,02;
x̄2 = Σx2 / n = 330,7 / 15 = 22,046667;
ȳ = Σy / n = 12,69 / 15 = 0,846.    
Окончательно получаем:
Эyx1(x2) = –0,009205 · 77,02 / 0,846 = –0,837995;
Эyx2(x1) = –0,013864 · 22,046667 / 0,846 = –0,361295.
Это значит, что при увеличении расходов на конечное потребление на 1% и неизменном значении валовых накоплений индекс человеческого развития убывает на 0,84%, а увеличение на 1% значения валовых накоплений при неизменных расходах на конечное потребление приведет к уменьшению индекса человеческого развития на 0,36%. 
ж). Коэффициенты регрессии b1 и b2 имеют разные единицы измерения, поэтому их сравнение невозможно. В связи с этим находят стандартизированные коэффициенты регрессии, которые можно сравнивать между собой. Формулы для их вычисления таковы:
βyx1(x2) = (ryx1 – ryx2 · rx1x2) / (1 – r2x1x2);
βyx2(x1) = (ryx2 – ryx1 · rx1x2) / (1 – r2x1x2).  
Вычисляем:
βyx1(x2) = (–0,080347 – 0,520953 · 0,673296) / (1 – 0,453327) = –0,788592;
βyx2(x1) = (–0,520953 – 0,080347 · 0,673296) / (1 – 0,453327) = –1,051908.
Сравнение коэффициентов βyx1(x2) = –0,788592 и βyx2(x1) = –1,051908 свидетельствует о том, что влияние валовых накоплений на индекс человеческого развития более выражено, чем влияние расходов на конечное потребление