Эконометрический анализ на основе модели однофакторной регрессии

Изучается зависимость индекса человеческого развития Y от фактора: X4 – валовое накопление, % к ВВП.
1. Построим поле корреляции:
Судя по виду поля корреляции между индексом человеческого развития и валовым накоплением связь достаточно слабая и, вероятно, обратная.
2. Найдем параметры парной линейной регрессии 𝑦̂ = 𝑎 + 𝑏𝑥 методом наименьших квадратов, для этого решим систему:
na+bx=yax+bx2=xy
Построим таблицу:
i Yi Xi YiXi Xi^2 Yi^2
1 0,913 17,3 15,79 299,29 0,83
2 0,900 17,5 15,75 306,25 0,81
3 0,927 18,1 16,78 327,61 0,86
4 0,740 18,5 13,69 342,25 0,55
5 0,932 19,7 18,36 388,09 0,87
6 0,721 20,1 14,49 404,01 0,52
7 0,921 20,2 18,60 408,04 0,85
8 0,905 20,6 18,64 424,36 0,82
9 0,894 20,7 18,51 428,49 0,80
10 0,802 22,4 17,96 501,76 0,64
11 0,774 22,7 17,57 515,29 0,60
12 0,744 23,0 17,11 529,00 0,55
13 0,545 25,2 13,73 635,04 0,30
14 0,927 25,2 23,36 635,04 0,86
15 0,701 42,4 29,72 1797,76 0,49
Сумма 12,35 333,60 270,08 7942,28 10,35
Среднее 0,82 22,24 18,01 529,49 0,69
15a+333,60b=12,35333,60a+7942,28b=270,08
Решив систему с помощью матричных функций MS Excel, получим оценки параметров:
a=1,014; b=-0,009
Уравнение регрессии имеет вид: Y=1,014-0,009X4
С увеличением валового накопления капитала на 1% от ВВП индекс человеческого развития в среднем снижается на 0,009 единиц.
Рассчитаем коэффициент парной корреляции: rXY=bσXσY=bX2-X2Y2-Y2
rXY=-0,0095,900,11=-0,45
Значение коэффициента корреляции -0,45 свидетельствует об умеренной обратной связи между признаками.
Найдем коэффициент детерминации: R2=rXY2=-0,452=0,21
Модель зависимости от валового накопления объясняет 21% вариации индекса человеческого развития.
Проверим значимость тренда. Расчетное значение F-критерия Фишера для модели парной регрессии: F=R21-R2⋅(n-2)=0,211-0,21⋅(15-2)=3,37
Критическое значение F-критерия Фишера при уровне значимости 0,05 и степенях свободы 2-1=1 и 15-2=13 равно 4,67. Т.к. расчетное значение F-критерия Фишера не превышает критическое значение, нулевая гипотеза принимается, т.е. модель признается незначимой на уровне значимости 0,05.
Рассчитаем коэффициент эластичности: Э=b⋅XY
Э=-0,009⋅22,240,82=-0,23
С увеличением валового накопления капитала на 1% от исходного значения индекс человеческого развития в среднем снижается на 0,23%.
Проверим значимость коэффициентов регрессии. Воспользуемся t-критерием Стьюдента. Рассчитаем оценки признака Y, подставив в уравнение регрессии наблюдаемые значения фактора X.
Расчетное значение t-критерия Стьюдента равно отношению коэффициента к его средней ошибке . Средние ошибки коэффициентов определим по формулам:
mb=(Yi-Yi)2(n-2)nσ2X,ma=(Yi-Yi)2X2(n-2)n2σ2X
Результаты расчетов следующие:
  Коэффициенты Станд.ошибка Т расчетное
a 1,014 0,108 9,419
b -0,009 0,005 -1,836
Критическое значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 и степенях свободы 15-2=13 равно 2,16. Расчетное значение t-критерия превышает критическое для свободного члена, следовательно, свободный член является значимым на уровне 0,05. Для коэффициента регрессии расчетное значение критерия по модулю меньше критического, следовательно, коэффициент регрессии не значим на уровне 0,05.
Рассчитаем 5-% доверительные интервалы для коэффициентов регрессии.
γa=a±Δa, Δa=Tкрит⋅ma
γb=b±Δb, Δb=Tкрит⋅mb
Результаты расчетов следующие:
  Коэффициенты Станд.ошибка tкритич Δ Нижняя граница Верхняя граница
a 1,014 0,108 2,16 0,233 0,781 1,247
b -0,009 0,005 2,16 0,010 -0,019 0,002
Доверительный интервал для параметра b: -0,019≤b≤0,02, доверительный интервал для параметра a: 0,781≤a≤1,247.
Результаты расчетов совпадают с результатами применения «Пакета анализа»:
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный R 0,45371802
R-квадрат 0,205860041
Нормированный R-квадрат 0,144772352
Стандартная ошибка 0,107010227
Наблюдения 15
Дисперсионный анализ
  df SS MS F Значимость F
Регрессия 1 0,03858948 0,03858948 3,369910442 0,089369404
Остаток 13 0,14886545 0,01145119
Итого 14 0,18745493      
  Коэффициенты Стандартная ошибка t-статистика P-Значение Нижние 95% Верхние 95%
Y-пересечение 1,014101147 0,10767001 9,41860337 3,58863E-07 0,781494225 1,246708068
Xi -0,00858968 0,00467916 -1,83573158 0,089369404 -0,018698388 0,001519028
Определим среднюю ошибку аппроксимации модели:
A=1n(Yi-Yi)Yi
i Yi Xi YiXi Xi^2 Yi^2 Y' ei^2 |e|/Yi
1 0,913 17,3 15,79 299,29 0,83 0,87 0,002 0,05
2 0,900 17,5 15,75 306,25 0,81 0,86 0,001 0,04
3 0,927 18,1 16,78 327,61 0,86 0,86 0,005 0,07
4 0,740 18,5 13,69 342,25 0,55 0,86 0,013 0,16
5 0,932 19,7 18,36 388,09 0,87 0,84 0,008 0,09
6 0,721 20,1 14,49 404,01 0,52 0,84 0,015 0,17
7 0,921 20,2 18,60 408,04 0,85 0,84 0,006 0,09
8 0,905 20,6 18,64 424,36 0,82 0,84 0,005 0,07
9 0,894 20,7 18,51 428,49 0,80 0,84 0,003 0,06
10 0,802 22,4 17,96 501,76 0,64 0,82 0,000 0,02
11 0,774 22,7 17,57 515,29 0,60 0,82 0,002 0,06
12 0,744 23,0 17,11 529,00 0,55 0,82 0,005 0,10
13 0,545 25,2 13,73 635,04 0,30 0,80 0,064 0,46
14 0,927 25,2 23,36 635,04 0,86 0,80 0,017 0,14
15 0,701 42,4 29,72 1797,76 0,49 0,65 0,003 0,07
Сумма 12,35 333,60 270,08 7942,28 10,35 12,35 0,15 1,67
Среднее 0,82 22,24 18,01 529,49 0,69   A 11%
Средняя ошибка аппроксимации составляет 11% (выше порогового значения 10%), следовательно, качество модели невысоко.
Изобразим диаграмму рассеяния и линию регрессии