Двумерная выборка результатов совместных измерений признаков х и у объемом n=100 измерений задана корреляционной таблицей:
Y
X
2 22 42 62 82 mxi
0,8 2 3
5
30,8 3 8 2
13
60,8
12 17
29
90,8
12 9
21
120,8
9 10
19
150,8
3 6 1 10
180,8
1 2 3
myj
5 23 43 26 3 n=100
Найти выборочные средние x,y и выборочные дисперсии σx,в, σy,в.
Построить уравнение линии регрессии Y на Х в виде yx=ax+b.
На графике изобразить корреляционное поле, т.е. нанести точки xi,yj и построить прямую yx=ax+b.
Решение
Запишем законы распределения для случайных величин X и Y
X
0,8 30,8 60,8 90,8 120,8 150,8 180,8
mxi
5 13 29 21 19 10 3
Y
2 22 42 62 82
myj
5 23 43 26 3
Найдем числовые характеристики.
Выборочные средние
x=1ni=1kximxi
x=1100∙0,8∙5+30,8∙13+60,8∙29+90,8∙21+120,8∙19+150,8∙10+180,8∙3=1100∙4+400,4+1763,2+1906,8+2295,2+1508+542,4=8420100=84,2
y=1nj=1lyjmyj
y=1100∙2∙5+22∙23+42∙43+62∙26+82∙3=1100∙10+506+1806+1612+246=4180100=41,8
Выборочные дисперсии
σx, в2=1ni=1kxi2mxi-x2
σx, в2=1100∙0,82∙5+30,82∙13+60,82∙29+90,82∙21+120,82∙19+150,82∙10+180,82∙3-84,22=1100∙3,2+12332,32+107202,56+173137,44+277260,16+227406,4+98065,92-7089,64=895408100-7089,64=1864,44
σy, в2=1nj=1lyj2myj-y2
σy, в2=1100∙22∙5+222∙23+422∙43+622∙26+822∙3-41,82=1100∙20+11132+75852+99944+20172-1747,24=207120100-1747,24=323,96
Найдем уравнение линии регрессии yx=ax+b по методу наименьших квадратов, для этого составим систему уравнений для нахождения коэффициентов a и b
ai=1kxi2mxi+bi=1kximxi=i=1kxiyximxiai=1kximxi+bn=i=1kyximxi
Выше при вычислении числовых характеристик было найдено
i=17xi2mxi=895408 ; i=17ximxi=8420
Используя корреляционную таблицу каждому варианту xi признака X поставим в соответствие среднее арифметическое yxi соответствующих ему (входящих с ним в пару) значений признака Y, то есть
xi→ yxi=1mxij=1lyjmij
результаты вычислений сведем в таблицу
xi
0,8 30,8 60,8 90,8 120,8 150,8 180,8
yxi
14 20,4615 33,7241 50,5714 52,5263 58 75,3333
Вычислим
i=1kxiyximxi=0,8∙14∙5+30,8∙20,4615∙13+60,8∙33,7241∙29+90,8∙50,5714∙21+120,8∙52,5263∙19+150,8∙58∙10+180,8∙75,3333∙3=56+8192,7846+59462,3331+96429,5455+120558,3638+87464+40860,7819=413023,8089
i=1kyximxi=14∙5+20,4615∙13+33,7241∙29+50,5714∙21+52,5263∙19+58∙10+75,3333∙3=70+265,9995+977,9989+1061,9994+997,9997+580+225,9999=4179,9974
Подставляем найденные коэффициенты и свободные члены в систему, получим
895408a+8420b=413023,80898420a+100b=4179,9974
Решим систему по формулам Крамера
∆=89540884208420100=89540800-70896400=18644400
∆a=413023,808984204179,9974100=41302380,89-35195578,11=6106802,782
∆b=895408413023,808984204179,9974=3742803112-3477660471=265142641
тогда
a=∆a∆=6106802,78218644400≈0,3275
b=∆b∆=26514264118644400≈14,221
Таким образом, эмпирическая функция регрессии y на x имеет вид:
yx=0,3275x+14,221
Найдем ту же эмпирическую функцию регрессии y на x путем вычисления коэффициента регрессии
ρyx=rxy,в∙σy, вσx, в
Найдем
σx, в=σx, в2=1864,44≈43,1792
σy, в=σy, в2=323,96≈17,9989
Выборочный корреляционный момент найдем по формуле
Kxy,в=1ni=1kxiyximxi-x∙y
Kxy,в=1100∙413023,8089-84,2∙41,8≈610,6781
Выборочный коэффициент корреляции найдем по формуле
rxy,в=Kxy,вσx, вσy, в
rxy,в=610,678143,1792∙17,9989≈0,7858
Проверим гипотезу о существовании связи между факторами X и Y, вычислим
rxy,в∙n-1=0,7858∙100-1≈7,8186>3
следовательно, связь достаточно вероятна.
Подставим найденные значения x,y,σx, в,σy, в в уравнение
yx-y=rxy,в∙σy, вσx, вx-x
получим
yx-41,8=0,7858∙17,998943,1792∙x-84,2
после преобразований получаем уравнение эмпирической функции регрессии y на x
yx=0,3276x+14,2199
Изобразим корреляционное поле и построим прямую
yx=0,3276x+14,2199
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
