Движение среды происходит с полем скорости vx=y+t vy=-2x

1) Траектории − это линии, вдоль которых движутся частицы жидкости. В двумерном (плоско-параллельном) случае траектории определяются системой дифференциальных уравнений
dxdt=vx(x,y,t), dydt=vyx,y,t.
Для заданного поля скорости эта система имеет вид
dxdt=y+t, dydt=-2x.
(1)
Поскольку в начальный момент времени t=0 траектория проходила через точку x0,y0=1,0, то имеем начальные условия
x0=1, y0=0.
(2)
Решим задачу Коши (1), (2). Сведем систему (1) к одному уравнению относительно функции xt. Продифференцируем первое уравнение по t
d2xdt2=dydt+1=-2x+1.
Таким образом уравнение для функции xt имеет вид
d2xdt2=-2x+1.
(3)
Решение этого уравнения
xt= xоднt+xчастt.
Чтобы найти общее решение однородного уравнения d2xdt2=-2x, определим корни характеристического многочлена
λ2=-2, ⟹ λ=±i2.
Общее решение однородного уравнения будет
xоднt=A1ei2t+A2e-i2t.
Удобнее его представить в виде
xоднt=C1cos2t+C2sin2t.
Исходя из вида неоднородности частное решение неоднородного уравнения можно искать в виде
xчастt=C=const.
Подставляем в уравнение
0=-2C+1, ⟹ C=12, ⟹ xчастt=12.
xt= C1cos2t+C2sin2t+12.
Функцию y(t) найдем из первого уравнения системы (1)
yt=dxdt-t=-2C1sin2t+2C2cos2t-t.
Постоянные C1, C2 найдем из начальных условий (2)
x0= C1+12=1y0=2C2=0 ⟹ C1=12C2=0
Уравнение траектории, проходящей через точку (1,0) будет
xt=12cos2t+12, yt=-22sin2t-t .
2) Линии тока − это такие кривые, для которых в заданный момент времени t касательная в каждой точке совпадает с направлением вектора скорости v(x,y,t) . Линии тока (в плоско-параллельном течении) определяются следующей системой дифференциальных уравнений
dxvx(x,y,t)=dyvy(x,y,t).
Для заданного поля скорости эта система имеет вид
dxy+t=dy-2x.
Решим это уравнение
-2xdx=y+tdy,
-2xdx=y+tdy
-x2=y+t22+C3.
Для момента времени t=0, x0,y0=x0,y0=1,0, откуда находим постоянную C3
-1=C3
Уравнение линии тока, для t=0 проходящей через точку (1,0) будет
-x2=y22-1,
x2+y22=1.
Т.е