Движение газового потока в сопле Лаваля
Заданы параметры сопла Лаваля (Таблица 1):
1) начальное давление рабочего тела р1=14 am;
2) начальная температура Т1=630 °К;
3) начальная скорость с1=150 м/сек;
4) массовый расход рабочего тела 𝑚̇=25 кг/сек;
5) давление в выходном сечении сопла р2=2,0 ат;
6) угол между образующими конуса в расширяющейся части сопла 𝜑=9°;
7) рабочее тело − двухатомный газ с 𝓀 =1,4. (воздух, R=287 Дж/кг·К)
Таблица 1. Исходные данные расчета сопла Лаваля.
Требуется:
1. Рассчитать параметры торможения.
2. Определить основные параметры в характерных сечениях сопла (входное‚ критическое и выходное).
3. Рассчитать общую длину сопла.
4. В сужающейся части сопла разбить его длину на пять интервалов, примерно равных. Два последних интервала (ближних к минимальному сечению) разбить пополам. Во всех этих точках по формуле (18) определить профиль сопла, из табл. 2.1 − газодинамические функции и изменение основных параметров по длине. Результаты расчетов свести в табл. 2.2.
5. B сверхзвуковой части сопла разбить перепад по давлению между ркр, и p2 так, чтобы получить не менее пяти промежуточных точек. По табл. 2.1 в промежуточных точках найти газодинамические функции, рассчитать изменение основных параметров по длине. Все данные расположить в табл. 2.3.
6. Предположим, что в минимальном (критическом) сечении сопла имеет место скачок уплотнения. При этом в расширяющейся части сопла будет дозвуковое течение, хотя скорость звука достигается в критическом сечении. Профиль сопла оставим неизменным. Можно рассчитать q(𝜆), a по ней все газодинамические функции. Так как при слабом скачке параметры торможения постоянны, нетрудно рассчитать основные параметры и их изменение по длине сопла. Результаты расчетов занести в табл. 2.4.
7. Предположим, что скачок имеет место в одном из сечений внутри сопла. Тогда по формуле (21) определяем коэффициент скорости 𝜆𝑐′ за скачком. По формуле (22) вычисляем параметры торможения до скачка и газодинамические функции. Удобнее располагать скачок в одном из сечений,
которые имели место при расчете режима истечения газа из сопла. Скачки необходимо рассчитывать не менее чем в трех сечения внутри сопла. Эффективные результаты дают расчеты примерно с третьего сечения (считая от критического). Результаты вычислений можно свести в табл. 2.4. Очевидно, что данная методика обратима и по ней нетрудно рассчитать сопло со скачком при заданном противодавлении на выходе из сопла.
8. По рассчитанным значениям в масштабе построить графики изменения d, F, p, ⍴, T, с, М по длине сопла с расчетными и нерасчетными режимами истечения из сопла.
Решение
Допущения:
Теплофизические свойства рабочего тела неизменны:
R=287Джкг·К, k =1,4,
Удельная изобарная теплоёмкость воздуха
cp=kk-1R=1,41,4-1287=1004,5Джкг∙К ;
Рабочее тело — идеальный газ;
Течение энергоизолированно во всей области течения;
Течение обратимо, исключая область перехода через фронт прямого скачка уплотнения;
Течение одномерно и стационарно.
Параметры торможения потока воздуха в сопле Лаваля
Температура торможения:
T*=T1+c122cp=630+15022∙1004,5=641,20 К.
В силу энергоизолированности течения
T*=const
по всей длине сопла, включая область перехода через фронт прямого скачки уплотнения.
Давление торможения в силу изоэнтропности течения (которая следует из энергоизолированно и обратимости):
p*p1=T*T1kk-1;
p*=p1T*T1kk-1=14641,206301,41,4-1=14,89061 ат=14,6027 бар.
В силу энергоизолированности и обратимости течения
p*=const
по всей длине сопла, исключая область перехода через фронт прямого скачки уплотнения.
Плотность торможения
ρ*=p*RT*=14,6027∙105287∙641,20=7,9352 кгм3.
Основные параметры в характерных сечениях сопла (входное‚ критическое и выходное)
Критика.
cкр=aкр=2kk+1RT*=2∙1,41,4+1287∙641,20=463,35 мс.
Безразмерные скорости
λкр=1, Mкр=1.
Газодинамические функции:
τλкр=2k+1=21,4+1=0,83333;
πλкр=2k+1kk-1=21,4+11,41,4-1=0,52828;
ελкр=2k+11k-1=21,4+111,4-1=0,63394.
Газодинамическая функция расхода:
qλкр=1.
Температура потока
Tкр=T*∙τλкр=641,20∙0,83333=534,33К;
Давление потока
pкр=p*∙πλкр=14,6027∙0,52828=7,71434 бар;
Плотность потока
ρкр=ρ*∙ελкр=7,9352∙0,63394=5,0304 кгм3 ;
Площадь критического сечения из уравнения Христиановича
Fкр=mT*Bm∙p*∙qλкр,
где Bm- константа уравнения, для воздуха равна
Bm=2k+11k-12kk+11R=21,4+111,4-12∙1,41,4+1∙1287=0,04041842 .
Fкр=25641,200,04041842∙14,6027∙105∙1=0,01072566 м2,
Диаметр критики:
dкр=4Fкрπ=4∙0,01072566π=0,11686 м=116,9 мм.
Вход.
Безразмерная скорость
λ1=c1aкр=150463,35=0,32373
Газодинамические функции:
τλ1=1-k-1k+1λ12=1-1,4-11,4+10,323732=0,982533;
πλ1=1-k-1k+1λ12kk-1=1-1,4-11,4+10,3237321,41,4-1=0,940190;
ελ1=1-k-1k+1λ121k-1=1-1,4-11,4+10,32373211,4-1=0,956904.
Газодинамическая функция расхода:
qλ1=k+121k-1∙λ1∙1-k-1k+1λ121k-1.
qλ1=1,4+1211,4-1∙0,32373∙1-1,4-11,4+10,32373211,4-1=0,488654.
Температура потока задана, для проверки:
T1=T*∙τλ1=641,20∙0,982533=630 К;
Давление потока задано, для проверки:
p1=p*∙πλ1=14,6027∙0,940190=13,7293 бар;
Плотность потока
ρ1=ρ*∙ελ1=7,9352∙0,956904=7,5932 кгм3 ;
Площадь входного сечения из уравнения Христиановича
F1=mT*Bm∙p*∙qλ1,
F1=25641,200,04041842∙14,6027∙105∙0,488654=0,0219494 м2,
или
F1=Fкрqλ1=0,010725660,488654=0,0219494 м2 .
Диаметр на входе:
d1=4F1π=4∙0,0219494π=0,16717 м=167,2 мм.
Срез.
Газодинамическая функция давления на срезе сопла на расчетном режиме, оба давления взяты в барах:
πλ2=p2p*=2∙0,98066514,6027=0,134313.
Безразмерная скорость
λ2=k+1k-11-πλ2k-1k=1,4+11,4-11-0,1343131,4-11,4=
=1,61834≈1,618.
Скорость потока
c2=λ2∙aкр=1,61834∙463,35=749,86мс .
Газодинамические функции:
τλ2=1-k-1k+1λ22=1-1,4-11,4+11,618342=0,563496;
πλ2=1-k-1k+1λ22kk-1=1-1,4-11,4+11,6183421,41,4-1=0,134313;
ελ2=1-k-1k+1λ221k-1=1-1,4-11,4+11,61834211,4-1=0,238356.
Газодинамическая функция расхода:
qλ2=k+121k-1∙λ2∙1-k-1k+1λ221k-1.
qλ1=1,4+1211,4-1∙1,61834∙1-1,4-11,4+11,61834211,4-1=0,608485.
Температура потока:
T2=T*∙τλ2=641,20∙0,563496=361,31 К;
Давление потока задано, для проверки:
p2=p*∙πλ2=14,6027∙0,134313=1,96133 бар;
Плотность потока
ρ2=ρ*∙ελ2=7,9352∙0,238356=1,8914 кгм3 ;
Площадь входного сечения из уравнения Христиановича
F2=mT*Bm∙p*∙qλ2,
F2=25641,200,04041842∙14,6027∙105∙0,608485=0,0176268 м2,
или
F2=Fкрqλ2=0,010725660,608485=0,0176268 м2 .
Диаметр на входе:
d2=4F2π=4∙0,0176268π=0,14981 м=149,8 мм.
или
d2=dкрqλ2=0,116860,608485=0,14981 м=149,8 мм.
Общая длина сопла
Длина дозвуковой (сужающейся) части сопла
l'c=2dкр=2∙0,11686=0,23372 м=233,7 мм.
Длина сверхзвуковой части сопла
l''c=d2-dкр2∙tgφ2=0,14981-0,116862∙tg9°2=0,20934 м=209,3 мм.
Полная длина сопла
lc=l'c+l''c=0,233721+0,209336=0,443056 м=443,1 мм.
Расчёт сужающейся части сопла
Таблица 1
. Дозвуковая часть сопла Лаваля на расчетнои режиме.
li, м
di, м
Fi, м
qλi
λi
τλi
πλi
ελi
Mi
Ti,К
pi,бар
ρi,кг/м3
ci,м/с
0 0,16717 0,0219494 0,48865 0,32373 0,98253 0,94019 0,95690 0,2981 630,00 13,72931 7,5932 150,00
0,036227 0,16138 0,0204550 0,52435 0,35000 0,97958 0,93035 0,94974 0,3228 628,11 13,58557 7,5364 162,17
0,063105 0,15217 0,0181868 0,58975 0,40000 0,97333 0,90974 0,93466 0,3701 624,10 13,28461 7,4167 185,34
0,081802 0,14478 0,0164640 0,65146 0,45000 0,96625 0,88677 0,91775 0,4179 619,56 12,9493 7,2825 208,51
0,098163 0,13877 0,0151255 0,70911 0,50000 0,95833 0,86160 0,89907 0,4663 614,48 12,58175 7,1343 231,68
0,113355 0,13384 0,0140694 0,76234 0,55000 0,94958 0,83438 0,87868 0,5152 608,87 12,18425 6,9725 254,84
0,127378 0,12978 0,0132282 0,81082 0,60000 0,94000 0,80528 0,85668 0,5649 602,73 11,75928 6,7979 278,01
0,141401 0,12644 0,0125556 0,85425 0,65000 0,92958 0,77448 0,83315 0,6154 596,05 11,30947 6,6112 301,18
0,154256 0,12371 0,0120191 0,89238 0,70000 0,91833 0,74217 0,80817 0,6668 588,83 10,83763 6,4130 324,35
0,16711 0,12151 0,0115955 0,92498 0,75000 0,90625 0,70855 0,78184 0,7192 581,09 10,34668 6,2041 347,51
0,179965 0,11978 0,0112680 0,95187 0,80000 0,89333 0,67383 0,75428 0,7727 572,80 9,83967 5,9854 370,68
0,193988 0,11848 0,0110245 0,97289 0,85000 0,87958 0,63822 0,72559 0,8274 563,99 9,319715 5,7577 393,85
0,206843 0,11757 0,0108565 0,98795 0,90000 0,86500 0,60194 0,69589 0,8834 554,64 8,790013 5,5220 417,02
0,219697 0,11704 0,0107580 0,99699 0,95000 0,84958 0,56522 0,66530 0,9409 544,75 8,253803 5,2793 440,18
0,233721 0,11686 0,0107257 1,00000 1,00000 0,83333 0,52828 0,63394 1,0000 534,33 7,71434 5,0304 463,35
Расчёт расширяющейся части сопла
Таблица 2. Сверхзвуковая часть сопла Лаваля на расчетнои режиме.
pi,бар
πλi
λi
τλi
ελi
qλi
Mi
Ti,К
ρi,кг/м3
ci,м/с
Fi, м
di, м
li, м
7,71434 0,52828 1,00000 0,83333 0,63394 1,00000 1,0000 534,33 5,0304 463,35 0,0107257 0,11686 0,233721
7,174875 0,49134 1,05000 0,81625 0,60195 0,99701 1,0609 523,38 4,7766 486,52 0,0107578 0,11704 0,234832
6,638624 0,45462 1,10000 0,79833 0,56946 0,98811 1,1239 511,89 4,5188 509,69 0,0108547 0,11756 0,238173
6,108746 0,41833 1,15000 0,77958 0,53661 0,97344 1,1890 499,87 4,2581 532,85 0,0110184 0,11844 0,243783
5,588313 0,38269 1,20000 0,76000 0,50354 0,95317 1,2566 487,31 3,9957 556,02 0,0112527 0,11970 0,251742
5,080285 0,34790 1,25000 0,73958 0,47040 0,92754 1,3269 474,22 3,7327 579,19 0,0115636 0,12134 0,262176
4,58748 0,31415 1,30000 0,71833 0,43734 0,89683 1,4002 460,60 3,4703 602,36 0,0119595 0,12340 0,275261
4,112552 0,28163 1,35000 0,69625 0,40449 0,86139 1,4769 446,44 3,2097 625,53 0,0124516 0,12591 0,291227
3,657957 0,25050 1,40000 0,67333 0,37203 0,82159 1,5575 431,74 2,9521 648,69 0,0130547 0,12893 0,310372
3,225932 0,22091 1,45000 0,64958 0,34008 0,77787 1,6423 416,51 2,6986 671,86 0,0137885 0,13250 0,333075
2,818469 0,19301 1,50000 0,62500 0,30882 0,73071 1,7321 400,75 2,4505 695,03 0,0146784 0,13671 0,359817
2,437286 0,16691 1,55000 0,59958 0,27837 0,68063 1,8273 384,45 2,2089 718,20 0,0157585 0,14165 0,391204
2,083811 0,14270 1,60000 0,57333 0,24890 0,62819 1,9290 367,62 1,9750 741,36 0,0170739 0,14744 0,42801
1,96133 0,13431 1,61834 0,56350 0,23836 0,60848 1,9680 361,31 1,8914 749,86 0,0176268 0,14981 0,443056
Расчёт прямого скачка уплотнения в горле сопла Лаваля
Таблица 3.
Коэффициент восстановления полного давления в прямом скачке уплотнения σ=1,000;
Давление торможения за прямым скачком pск*=14,6027 бар;
Плотность заторможенного потока за прямым скачком ρск*=7,9352кгм3.
N li, м
Fi, м
di, м
λi
Mi
τλi
πλi
ελi
qλi
Ti,К
pi,бар
ρi,кг/м3
ci,м/с
ai,м/с
0,23372 0,010726 0,11686 1,0000 1,00000 0,833333 0,528282 0,633938 1,00000 534,33 7,7143 5,0304 463,35 463,35
0,23483 0,010758 0,11704 0,9502 0,94110 0,849520 0,565077 0,665172 0,99701 544,71 8,2516 5,2783 440,28 467,83
0,23817 0,010855 0,11756 0,9006 0,88405 0,864820 0,601506 0,695527 0,98811 554,52 8,7836 5,5192 417,29 472,02
0,24378 0,011018 0,11844 0,8515 0,82901 0,879158 0,637139 0,724715 0,97344 563,72 9,3039 5,7508 394,54 475,92
0,25174 0,011253 0,11970 0,8027 0,77559 0,892612 0,671923 0,752761 0,95317 572,34 9,8119 5,9733 371,93 479,55
0,26218 0,011564 0,12134 0,7543 0,72375 0,905172 0,705600 0,779521 0,92754 580,40 10,3037 6,1857 349,51 482,91
0,27526 0,011959 0,12340 0,7063 0,67336 0,916857 0,737998 0,804922 0,89683 587,89 10,7768 6,3872 327,27 486,02
0,29123 0,012452 0,12591 0,6588 0,62441 0,927664 0,768895 0,828851 0,86139 594,82 11,2279 6,5771 305,26 488,87
0,31037 0,013055 0,12893 0,6119 0,57688 0,937596 0,798097 0,851216 0,82159 601,19 11,6544 6,7546 283,53 491,48
0,33308 0,013788 0,13250 0,5655 0,53056 0,946702 0,825555 0,872033 0,77787 607,02 12,0553 6,9198 262,03 493,86
0,35982 0,014678 0,13671 0,5198 0,48557 0,954968 0,851061 0,891194 0,73071 612,33 12,4278 7,0718 240,85 496,02
0,39120 0,015759 0,14165 0,4748 0,44181 0,962427 0,874557 0,908699 0,68063 617,11 12,7709 7,2107 220,00 497,95
0,42801 0,017074 0,14744 0,4308 0,39949 0,969069 0,895861 0,924456 0,62819 621,37 13,0820 7,3357 199,61 499,66
0,44306 0,017627 0,14981 0,4148 0,38421 0,971323 0,903179 0,929843 0,60848 622,81 13,1888 7,3785 192,20 500,25
Расчёт прямого скачка уплотнения в промежуточных сечениях сопла Лаваля
Таблица 4.
Коэффициент восстановления полного давления в прямом скачке уплотнения σ=0,98616;
Давление торможения за прямым скачком pск*=14,4006 бар;
Плотность заторможенного потока за прямым скачком ρск*=7,8254кгм3.
N li, м
Fi, м
di, м
λi
Mi
τλi
πλi
ελi
qλi
Ti,К
pi,бар
ρi,кг/м3
ci,м/с
ai,м/с
0,25174 0,011253 0,11970 0,8333333 0,80898 0,884259 0,650173 0,735274 0,96654 566,99 9,4943 5,7538 386,13 477,30
0,26218 0,011564 0,12134 0,7776 0,74857 0,899223 0,689503 0,766776 0,94055 576,58 10,0686 6,0003 360,30 481,32
0,27526 0,011959 0,12340 0,7251 0,69298 0,912372 0,725440 0,795114 0,90942 585,01 10,5934 6,2221 335,98 484,83
0,29123 0,012452 0,12591 0,6745 0,64049 0,924175 0,758822 0,821080 0,87348 592,58 11,0808 6,4253 312,53 487,95
0,31037 0,013055 0,12893 0,6249 0,58997 0,934917 0,790142 0,845147 0,83312 599,47 11,5382 6,6136 289,55 490,78
0,33308 0,013788 0,13250 0,57665 0,54163 0,944579 0,819095 0,867153 0,78879 605,66 11,9610 6,7858 267,19 493,31
0,35982 0,014678 0,13671 0,5294 0,49497 0,953289 0,845837 0,887282 0,74096 611,25 12,3515 6,9433 245,30 495,58
0,39120 0,015759 0,14165 0,4832 0,44994 0,961086 0,870299 0,905536 0,69018 616,25 12,7087 7,0862 223,89 497,60
0,42801 0,017074 0,14744 0,4380 0,40639 0,968026 0,892493 0,921972 0,63701 620,70 13,0328 7,2148 202,95 499,40
0,44306 0,017627 0,14981 0,4217 0,39079 0,970362 0,900052 0,927543 0,61702 622,20 13,1432 7,2584 195,40 500,00
Таблица 5.
Коэффициент восстановления полного давления в прямом скачке уплотнения σ=0,910582;
Давление торможения за прямым скачком pск*=13,2970 бар;
Плотность заторможенного потока за прямым скачком ρск*=7,2257 кгм3.
N li, м
Fi, м
di, м
λi
Mi
τλi
πλi
ελi
qλi
Ti,К
pi,бар
ρi,кг/м3
ci,м/с
ai,м/с
0,31037 0,013055 0,12893 0,7142857 0,68168 0,914966 0,732685 0,800778 0,90227 586,68 10,6992 5,7861 330,97 485,52
0,33308 0,013788 0,13250 0,6500 0,61543 0,929583 0,774478 0,833145 0,85426 596,05 11,3095 6,0200 301,18 489,38
0,35982 0,014678 0,13671 0,5910 0,55593 0,941787 0,810650 0,860758 0,80246 603,87 11,8377 6,2195 273,84 492,58
0,39120 0,015759 0,14165 0,5356 0,50106 0,952189 0,842424 0,884724 0,74746 610,54 12,3017 6,3927 248,17 495,29
0,42801 0,017074 0,14744 0,4829 0,44965 0,961135 0,870452 0,905650 0,68988 616,28 12,7109 6,5439 223,75 497,62
0,44306 0,017627 0,14981 0,4642 0,43158 0,964086 0,879844 0,912620 0,66824 618,17 12,8481 6,5943 215,09 498,38
Таблица 6.
Коэффициент восстановления полного давления в прямом скачке уплотнения σ=0,800474;
Давление торможения за прямым скачком pск*=11,6891 бар;
Плотность заторможенного потока за прямым скачком ρск*=6,3519 кгм3.
N li, м
Fi, м
di, м
λi
Mi
τλi
πλi
ελi
qλi
Ti,К
pi,бар
ρi,кг/м3
ci,м/с
ai,м/с
0,39120 0,015759 0,14165 0,6451613 0,61051 0,930628 0,777528 0,835488 0,85028 596,72 11,3540 5,3070 298,94 489,65
0,42801 0,017074 0,14744 0,5725 0,53751 0,945374 0,821510 0,868979 0,78477 606,17 11,9963 5,5197 265,27 493,52
0,44306 0,017627 0,14981 0,5479 0,51316 0,949968 0,835566 0,879573 0,76016 609,12 12,2015 5,5870 253,87 494,72
Таблица 7.
Прямой скачок расположен на срезе сопла Лаваля
Коэффициент восстановления полного давления в прямом скачке уплотнения σ=0,735793;
Давление торможения за прямым скачком pск*=10,7446 бар;
Плотность заторможенного потока за прямым скачком ρск*=5,8387 кгм3.
N li, м
Fi, м
di, м
λi
Mi
τλi
πλi
ελi
qλi
Ti,К
pi,бар
ρi,кг/м3
ci,м/с
ai,м/с
0,44306 0,017627 0,1498105 0,6179171 0,58293 0,936363 0,794429 0,848420 0,826978 600,40 11,6008 4,9536 286,31 491,16
Графики
Рис
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
