Доказать по таблицам истинности равносильность

1. Докажем по таблице истинности равносильность: .
Учитывая приоритет логических операций, последовательно заполняем столбцы таблицы (таблица 1.1).
Таблица 1.1 – Таблица истинности

0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 1 0 1 1
Для всех наборов значений a и b значения выражений в выделенных столбцах совпадают, что доказывает справедливость равенства .
Докажем по таблице истинности равносильность: .
Учитывая приоритет логических операций, последовательно заполняем столбцы таблицы (таблица 1.2).
Таблица 1.2 – Таблица истинности

0 0 1 1 1 0 1 1
0 1 1 0 0 0 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0 1 1 1
Для всех наборов значений a и b значения выражений в выделенных столбцах совпадают, что доказывает справедливость равенства .
Докажем по таблице истинности равносильность: .
Учитывая приоритет логических операций, последовательно заполняем столбцы таблицы (таблица 1.3).
Таблица 1.3 – Таблица истинности

0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 1 1 0 0 1 1
1 0 0 0 1 1 1 1
1 1 0 0 0 0 0 0
Для всех наборов значений a и b значения выражений в выделенных столбцах совпадают, что доказывает справедливость равенства .
2. Докажем по таблицам истинности справедливость равносильностей .
5) дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции (таблица 2.1):
Таблица 2.1 – Таблица истинности

0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1 0
0 1 1 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 1 1 1 1
1 1 0 1 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Значения в выделенных столбцах таблицы истинности совпадают. Равносильность доказана.
6) дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции (таблица 2.2):
Таблица 2.2 – Таблица истинности

0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 1 0 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
Значения в выделенных столбцах таблицы истинности совпадают . Равносильность доказана.
10) закон де Моргана (таблица 2.3): .
Таблица 2.3 – Таблица истинности

0 0 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 1 0 1
0 1 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1
1 1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0
Значения в выделенных столбцах таблицы истинности совпадают. Равносильность доказана.
11) закон де Моргана (таблица 2.4): .
Таблица 2.4 – Таблица истинности

0 0 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 0 0 1 0
0 1 1 0 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0
1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1 0
Значения в выделенных столбцах таблицы истинности совпадают. Равносильность доказана.
7) идемпотентность: ;
8) идемпотентность: ;
9) двойное отрицание: ;
14) свойство констант: ;
17) свойство констант: ;
Таблица 2.5 – Таблица истинности

0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1
Значения во всех столбцах таблицы истинности совпадают.
Равносильности 7), 8), 9), 14), 17) доказаны.
3. Докажем с помощью эквивалентных преобразований равносильность:
.
Используем следующие основные понятия и тождества алгебры логики:
эквивалентность: ;
законы де Моргана: и ;
двойное отрицание: ;
сложение по модулю 2: ;
.
Равносильность доказана.
Дана равносильность: .
4. Проверим справедливость равносильности с помощью таблицы истинности (таблица 4.1). Обозначим:
Таблица 4.1 – Таблица истинности

0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1
0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1
0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1
1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1
1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1
Для всех наборов значений a, b и c значения выражений в выделенных столбцах совпадают, что и доказывает справедливость равенства f = g.
5