Доказать что игра имеет решение в чистых стратегиях

Если игра имеет решение в чистых стратегиях, то это значит, что существует пара чистых стратегий игроков, образующая седловую точку. При этом седловой элемент aij является минимальным в i-й строке и максимальным в j-м столбце платежной матрицы. Примем во внимание также то, что на наличие седловой точки (на решение в чистых стратегиях) не влияет перестановка местами либо строк, либо столбцов платежной матрицы.
Процесс доказательства построим следующим образом:
1) выберем максимальный элемент в первом столбце платежной матрицы; пусть это будет элемент a, находящийся в первой и в третьей строках;
2) вторым элементом в первой и третьей строках являются элементы b и d соответственно; при этом возможны два случая;
3) случай первый – элемент a меньше или равен какому-то из элементов b и d; седловой элемент находится в первом столбце, решение в чистых стратегиях имеется;
4) случай второй – элемент a больше сразу обоих элементов b и d; седловой элемент находится во втором столбце, решение в чистых стратегиях имеется