Доказать что если формулы и тавтологии

1) Пусть , тогда из следует , а из следует, что – любое, тогда , получили тавтологию.
Пусть , тогда из следует – любое, а из следует, что , тогда , получили тавтологию.
Таким образом, при любых значениях и функция будет являться тавтологией.
2) Упростим формулу . Для этого исключим импликации:
Применим правила де Моргана:
Применим правило двойного отрицания:
По закону поглощения:
Если x = 0 и/или y = 0, то и для истинности формулы необходимо, чтобы , а если x = 1 и y = 1, то и Φ может быть любым, получаем функцию следующего вида:
x y Φ
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 *
Таким образом, по полученной таблице видим, что или .
3) Положим , тогда при , что возможно при .
Положим , тогда при , что возможно при и или и .
Получаем функцию следующего вида:
Φ
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 0
Получаем .