1. Для замкнутой системы автоматического управления (САУ) с отрицательной (единичной) обратной связью, структурная схема которой в разомкнутом состоянии изображена на рисунке 1 (передаточные функции звеньев, согласно варианта задания, представлены в таблице 1), произвести выбор последовательного регулятора(корректирующего устройства) методом построения ЛАЧХ, исходя из требований, что проектируемая система должна:
1.1. воспроизводить постоянное входное воздействие с нулевой установившейся ошибкой (система должна иметь астатизм первого порядка);
1.2. удовлетворять показателям качества в соответствие с вариантом задания
Рисунок 1 – Структурная схема исходной САУ в разомкнутом состоянии
Таблица 1 – Передаточные функции звеньев исходной системы
Таблица 2 – Показатели качества проектируемой САУ
2. Провести анализ полученной САУ.
2.1. Подтвердить факт, что полученная САУ с последовательным регулятором (корректирующим устройством) удовлетворяет заданным показателям качества в соответствие с вариантом задания.
Для этого определить и построить графики:
-переходной характеристики системы;
-отклика системы на входной постоянно нарастающий сигнал x(t)=t;
-сигнала ошибки при входном постоянно нарастающем сигнале x(t)=t.
Данные функции (сигналы) вычислить аналитически с помощью обратного
преобразования Лапласа. Графики полученных функций (сигналов) можно
построить с помощью одной из программ SMath Studio, Excel, OpenOffice Calc или других аналогичных.
По переходной характеристике оценить качество работы полученной САУ
(перерегулирование, время переходного процесса, статическую ошибку).
По графикам отклика системы и сигнала ошибки при постоянно нарастающем сигнале x(t)=t подтвердить получение заданного коэффициента ошибки по скорости.
2.2 Исследовать устойчивость полученной САУ
Решение
Передаточная функция разомкнутой системы:
Wp=W1p+W2p=20+11+p+p2
Преобразуем полученную передаточную функцию:
Wp=20+11+p+p2=201+p+p2+11+p+p2=21(0.972p2+2*0.48*0.97p+1)p2+p+1
Построим ЛАЧХ разомкнутой системы:
Рисунок 2 – ЛАЧХ разомкнутой системы
Построение желаемой ЛАЧХ
Исходными данными для синтеза в НЧ - области являются коэффициенты ошибок по положению с0, по скорости с1 и по ускорению с2. В нашем случае система должна иметь астатизм первого порядка, поэтому вычисляем минимальную добротность по скорости, которая связана с ошибкой по скорости соотношением:
Kv=1c1=10.01=100
Для желаемой ЛАЧХ возьмем значение Kv=130.
Исходными данными для построения желаемой ЛАЧХ в среднечастотной области являются требования к качеству переходного режима: время регулирования tp и перерегулирование σ. ЛАЧХ на частоте среза ωср должна иметь наклон – 20 дБ/дек. Частота среза ωср может быть определена по приближенной формуле:
ωср≥ 3πtp≥ 3π0.7≥ 13.4 рад/с
Запас устойчивости по амплитуде:
ΔL=16 дБ, σ<22%
Так как по условию система должна иметь астатизм 1-го порядка, а ЛАЧХ на частоте среза ωср должна иметь наклон – 20 дБ/дек, строим желаемую ЛАЧХ вида -1 -2 -1 -2.
Алгоритм построения желаемой ЛАЧХ следующий:
Определяем значение ЛАЧХ на частоте 0,01: L0.01=20lg130--20lg0.01=42.279-40=82.279 дБ;
Пусть ωср=18радс, соответственно Lωср=0 дБ;
Проводим линии L=±16 дБ, эти линии определяют границы полосы пропускания (ω2=3,33рад/с и ω3=111,11рад/с) , а следовательно и Т2=0,3 с, Т3=0,009с;
С учетом п.1-3 подбираем значение Т1=2 с.
Желаемая ЛАЧХ имеет вид:
Рисунок 3 – Желаемая ЛАЧХ
По виду желаемой ЛАЧХ легко определить передаточную функцию:
Wжp=130(0.3p+1)p2p+1(0.009p+1)
Так как используется последовательный регулятор, то есть структурная схема САУ имеет вид:
Рисунок 4 – Структурная схема САУ
Передаточная функция регулятора может быть получена из соотношения:
Wрp=WжpWp=130(0.3p+1)1+p+p2p2p+10.009p+1(201+p+p2+1)
Передаточную функцию регулятора можно определить и по ЛАЧХ:
Lpω=Lжω-L(ω)
Рисунок 5 – Желаемая ЛАЧХ, ЛАЧХ объекта и ЛАЧХ регулятора
Wрp=130(0.3p+1)1+p+p2p2p+10.009p+1(201+p+p2+1)
Определим показатели качества замкнутой системы.
Передаточная функция скорректированной разомкнутой системы:
Wp=Wжp=130(0.3p+1)p2p+1(0.009p+1)=39p+1300.018p3+2.009p2+p
Передаточная функция замкнутой системы с учетом единичной отрицательной обратной связи может быть получена из соотношения:
Фp=Wp1+Wp=39p+1300.018p3+2.009p2+p1+39p+1300.018p3+2.009p2+p=
=39p+1300.018p3+2.009p2+40p+130
Разложим знаменатель дроби на простые множители, для этого найдем корни знаменателя:
0.018p3+2.009p2+40p+130=0
p1=-87.03, p2=-20.54, p3=-4.04
Тогда
Фp=2166,67p+7222,22p+87.03p+20.54(p+4.04)
Известно, что передаточная функция – это отношение изображения выходного сигнала к изображению входного сигнала:
Фp=Y(p)X(p)=LytLxt
То есть, при известном входном сигнале можно определить выходной сигнал:
Lyt=Фp*Lxt
Или:
yt=L-1Фp*Lxt
Определим переходную характеристику.
Переходная характеристика – это реакция системы на единичное ступенчатое воздействие, то есть xt=1(t).
Изображение единичного ступенчатого воздействия: Lxt=1p
То есть изображение выходного сигнала:
Lyt=Фp*1p
Оригинал переходной характеристики:
ht=L-12166,67p+7222,22p+87.03p+20.54(p+4.04)*1p
Разложим это выражение на элементарные дроби и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для определения неизвестных статических коэффициентов:
2166,67p+7222,22p+87.03p+20.54p+4.04p=Ap+87.03+Bp+20.54+
+Cp+4.04+Dp (1)
Определим неизвестные коэффициенты
. Для этого приведем правую часть выражения к общему знаменателю:
2166,67p+7222,22p+87.03p+20.54p+4.04p=App+20.54p+4.04p+87.03p+20.54p+4.04p+
+Bpp+87.03p+4.04p+87.03p+20.54p+4.04p+Cpp+20.54p+87.03p+87.03p+20.54p+4.04p+
+Dp+87.03p+20.54p+4.04p+87.03p+20.54p+4.04p. (2)
Необходимо раскрыть скобки в числителях:
App+20.54p+4.04p+87.03p+20.54p+4.04p=Ap3+24.58Ap2+82.98App+87.03p+20.54p+4.04p
Bpp+87.03p+4.04p+87.03p+20.54p+4.04p=Bp3+91.07Bp2+351.6Bpp+87.03p+20.54p+4.04p
Cpp+20.54p+87.03p+87.03p+20.54p+4.04p=Cp3+107.57Cp2+1787.6Cpp+87.03p+20.54p+4.04p
Dp+87.03p+20.54p+4.04p+87.03p+20.54p+4.04p=Dp3+111.61Dp2+2222.2Dp+7222.22Dp+87.03p+20.54p+4.04p
То есть в числителе правой части выражения (2) имеем:
A+B+C+Dp3+24.58A+91.07B+107.57C+111.61Dp2+
+82.98A+351.6B+1787.6C+2222.2Dp+7222.22D
Домножим обе части выражения (2) на p+87.03p+20.54p+4.04p, получим:
2166,67p+7222,22=A+B+C+Dp3
+24.58A+91.07B+107.57C+111.61Dp2+
+82.98A+351.6B+1787.6C+2222.2Dp+7222.22D (3)
Приравнивая коэффициенты левой и правой частей уравнения (2) при одинаковых степенях р, получим систему четырех уравнений из четырех неизвестных:
A+B+C+D=024.58A+91.07B+107.57C+111.61D=082.98A+351.6B+1787.6C+2222.2D=2166,677222.22D=7222,22.
Решив эту систему, имеем:
A=0.38, B=-1.69, C=0.27, D=1
Подставляя вычисленные значения коэффициентов А и В в уравнение (1), получим:
2166,67p+7222,22p+87.03p+20.54p+4.04p=0.38p+87.03-1.69p+20.54+
+0.27p+4.04+1p
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
