Для заданной схемы сложной электрической цепи с заданными ЭДС и сопротивлениями требуется

Рис.2.2. Расчетная схема
Данная схема имеет ρ=6 ветвей и q=4 узлов (рис.2.2).
Чтобы получить линейно независимые уравнения по первому закону Кирхгофа, составляем уравнения, число которых равно q-1=4-1=3 уравнений. Также в данной схеме ρ=6 ветвей. Следовательно, по 2-му закону Кирхгофа составляемn=ρ-q+1=6-4+1=3 уравнений. Таким образом, число неизвестных токов в ветвях ρ=6. По 1-му и 2-му законам Кирхгофа для этой схемы можно записать систему из шести уравнений (для узлов 1, 2, 3 и для контуров 1, 2 ,3).
-I4+I5-I6=0I1-I2-I5=0-I1-I3+I6=0-I2R2+r2+I4R4+I5R5=-E2I1R1+r1+I2R2+r2-I3R3+r3=E1+E2-E3-I1R1+r1-I5R5-I6R6=-E1
Решение методом контурных токов
Обозначаем на схеме контурные токи (I11, I22, I33) в контурах (рис.3), направления обхода контуров и составляем уравнения для имеющихся в схеме трех независимых контуров
Рис.2.3. Расчетная схема к методу контурных токов
Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контурных токов, для рассматриваемой цепи имеет вид:
I11R2+r2+R4+R5-I22R2+r2-I33R5=-E2-I11R2+r2+I22R1+r1+R2+r2+R3+r3-I33R1+r1=E1+E2-E3-I11R5-I22R1+r1+I33R1+r1+R5+R6=-E1
После подстановки исходных данных имеем
I1110+0,4+8+11-I2210+0,4-11I33=-50-I1110+0,4+I2215+0,3+10+0,4+6+0,3-I3310+0,4=140+50-95-11I11-I2215+0,3+I3315+0,3+11+12=-140
Упрощаем
29,4I11-10,4I22-11I33=-50-10,4I11+32I22-15,3I33=95-11I11-15,3I22+38,3I33=-140
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
Где из составленной выше системы уравнений собственные контурные сопротивления, определяемые суммой сопротивлений приемников в каждом контуре:
R11=R2+r2+R4+R5=29,4 Ом; R22=R1+r1+R2+r2+R3+r3=32 Ом; R33=R1+r1+R5+R6=38,3 Ом
Смежные контурные сопротивления, определяемые сопротивлениями приемников, содержащихся в ветви, смежной для двух контуров, составляют:
R12=R21=-(R2+r2)=-10,4 Ом;
R13=R31=-R5=-11 Ом;
R23=R32=-(R1+r1)=-15,3 Ом
Находим
∆=29,4-10,4-11-10,432-15,3-11-15,338,3=29,4∙32∙38,3+-10,4∙-15,3∙-11+-10,4∙-15,3∙-11--11∙32∙-11--10,4∙-10,4∙38,3--15,3∙-15,3∙29,4=36032,64-1750,32-1750,32-3872-4142,528-6882,246=17635,226
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=-50-10,4-119532-15,3-140-15,338,3=-67303,4
∆2=29,4-50-11-10,495-15,3-11-14038,3=-11844,9
∆3=29,4-10,4-50-10,43295-11-15,3-140=-88524,7
Находим контурные токи
I11=∆1∆=-67303,417635,226=-3,816 А
I22=∆2∆=-11844,917635,226=-0,672 А
I33=∆3∆=-88524,717635,226=-5,020 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=I22-I33=-0,672--5,020=4,348 A
I2=I22-I11=-0,672--3,816=3,144 A
I3=-I22=--0,672=0,672 A
I4=I11=-3,816 A
I5=I11-I33=-3,816--5,020=1,204 A
I6=-I33=--5,020=5,020 A
Получившиеся отрицательным значение тока I4 указывает на то, что в действительности этот ток направлен в противоположную сторону относительно выбранного и обозначенного направления на рис.2.3.
Решение методом узловых потенциалов
Составляем систему для узлов 1, 2, 3 . Узел 4 мысленно заземляем, т.е. φ4=0(рис.4)
Рис.2.4. Расчетная схема к методу узловых потенциалов
Система уравнений, составленная по методу узловых потенциалов для данной цепи, имеет вид:
φ1g11+φ2g12+φ3g13=J11φ1g21+φ2g22+φ3g23=J22φ1g31+φ2g32+φ3g33=J33
Подсчитываем проводимости ветвей
g11=1R4+1R5+1R6=18+111+112=0,299 См
g22=1R1+r1+1R2+r2+1R5=115+0,3+110+0,4+111=0,252 См
g33=1R1+r1+1R3+r3+1R6=115+0,3+16+0,3+112=0,307 См
g12=g21=-1R5=-111=-0,091 См
g13=g31=-1R6=-112=-0,083 См
g23=g32=-1R1+r1=-115+0,3=-0,065 См
Определяем значения узловых токов:
J11=0 A
J22=E1R1+r1+-E2R2+r2=14015+0,3+-5010+0,4=4,343 A
J33=-E1R1+r1+-E3R3+r3=-14015+0,3+-956+0,3=-24,23 A
Подставляем полученные данные в составленную выше систему уравнений
φ1g11+φ2g12+φ3g13=J11φ1g21+φ2g22+φ3g23=J22φ1g31+φ2g32+φ3g33=J33
После подстановки полученных значений имеем систему вида:
0,299 φ1-0,091φ2-0,083φ3=0-0,091φ1+0,252φ2-0,065φ3=4,343-0,083φ1-0,065φ2+0,307φ3=-24,23
Решаем методом Крамера как и в методе контурных токов
Находим
∆=0,299-0,091-0,083-0,0910,252-0,065-0,083-0,0650,307=0,01661
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=0-0,091-0,0834,3430,252-0,065-24,23-0,0650,307=-0,50535
∆2=0,2990-0,083-0,0914,343-0,065-0,083-24,230,307=-0,285
∆3=0,299-0,0910-0,0910,2524,343-0,083-0,065-24,23=-1,508
Определяем потенциалы
φ1=∆1∆=-0,505350,01661=-30,42444
φ2=∆2∆=-0,2850,01661=-17,15834
φ3=∆3∆=-1,5080,01661=-90,78868
Определяем токи в ветвях по рис.2.4
I1=φ3-φ2+E1R1+r1=-90,78868-(-17,15834)+14015+0,3=4,338 А
I2=φ2-φ4+E2R2+r2=-17,15834-0+5010+0,4=3,158 А
I3=φ3-φ4+E3R3+r3=-90,78868-0+956+0,3=0,668 А
I4=φ1-φ4R4=-30,42444-08=-3,803 А
I5=φ2-φ1R5=-17,15834-(-30,42444)11=1,206 А
I6=φ1-φ3R6=-30,42444-(-90,78868)12=5,030 А
Сравним значения токов, вычисленными двумя методами
Значения токов I1
I2
I3
I4
I5
I6
Метод контурных токов 4,348
3,144
0,672
-3,816
1,204
5,020
Метод узловых потенциалов 4,338
3,158
0,668
-3,803
1,206
5,030
Вычисления совпадают