Для заданной схемы сложной электрической цепи с заданными ЭДС и сопротивлениями требуется

Рис.2.2. Расчетная схема
Данная схема имеет ρ=6 ветвей и q=4 узлов (рис.2.2).
Чтобы получить линейно независимые уравнения по первому закону Кирхгофа, составляем уравнения, число которых равно q-1=4-1=3 уравнений. Также в данной схеме ρ=6 ветвей. Следовательно, по 2-му закону Кирхгофа составляемn=ρ-q+1=6-4+1=3 уравнений. Таким образом, число неизвестных токов в ветвях ρ=6. По 1-му и 2-му законам Кирхгофа для этой схемы можно записать систему из шести уравнений (для узлов 1, 2, 3 и для контуров 1, 2 ,3).
I1+I2-I5=0-для узла 1-I3+I5+I6=0-для узла 2-I1+I4-I6=0-для узла 3I1R1+r1+I5R5-I6R6=E1-для контура 1-I2R2+r2-I3R3+r3-I5R5=-E2-E3-для контура 2I3R3+r3+I5R5+I6R6=E3 -для контура 3
Решение методом контурных токов
Обозначаем на схеме контурные токи (I11, I22, I33) в контурах (рис.2.3), направления обхода контуров и составляем уравнения для имеющихся в схеме трех независимых контуров
Рис.2.3. Расчетная схема к методу контурных токов
Система уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа для контурных токов, для рассматриваемой цепи имеет вид:
I11R1+r1+R5+R6-I22R5-I33R6=E1-I11R5+I22R2+r2+R3+r3+R5-I33R3+r3=-E2-E3-I11R6-I22R3+r3+I33R3+r3+R4+R6=E3
После подстановки исходных данных имеем
I114+0,3+4+5-4I22-5I33=115-4I11+I227+0,5+2+0,2+4-I332+0,2=-30-55-5I11-I222+0,2+I332+0,2+2+5=55
Упрощаем
13,3I11-4I22-5I33=115-4I11+13,7I22-2,2I33=-85-5I11-2,2I22+9,2I33=55
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
Где из составленной выше системы уравнений собственные контурные сопротивления, определяемые суммой сопротивлений приемников в каждом контуре:
R11=R1+r1+R5+R6=13,3 Ом; R22=R2+r2+R3+r3+R5=13,7 Ом; R33=R3+r3+R4+R6=9,2 Ом
Смежные контурные сопротивления, определяемые сопротивлениями приемников, содержащихся в ветви, смежной для двух контуров, составляют:
R12=R21=-R5=-4 Ом;
R13=R31=-R6=-5 Ом;
R23=R32=-(R3+r3)=-2,2 Ом
Находим
∆=13,3-4-5-413,7-2,2-5-2,29,2=13,3∙13,7∙9,2+-4∙-2,2∙-5+-4∙-2,2∙-5--5∙13,7∙-5--4∙-4∙9,2--2,2∙-2,2∙13,3=1676,332-44-44-342,5-147,2-64,372=1034,26
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=115-4-5-8513,7-2,255-2,29,2=14126,5
∆2=13,3115-5-4-85-2,2-5559,2=-69,3
∆3=13,3-4115-413,7-85-5-2,255=13843,95
Находим контурные токи
I11=∆1∆=14126,51034,26=13,659 А
I22=∆2∆=-69,31034,26=-0,067 А
I33=∆3∆=13843,951034,26=13,385 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=I11=13,659 A
I2=-I22=0,067 A
I3=I33-I22=13,385--0,067=13,452 A
I4=I33=13,385 A
I5=I11-I22=13,659--0,067=13,726 A
I6=I33-I11=13,385-13,659=-0,274 A
Получившиеся отрицательным значение тока I6 указывает на то, что в действительности этот ток направлен в противоположную сторону относительно выбранного и обозначенного направления на рис.2.3.
Решение методом узловых потенциалов
Составляем систему для узлов 1, 2, 3 . Узел 4 мысленно заземляем, т.е. φ4=0(рис.4)
Рис.2.4. Расчетная схема к методу узловых потенциалов
Система уравнений, составленная по методу узловых потенциалов для данной цепи, имеет вид:
φ1g11+φ2g12+φ3g13=J11φ1g21+φ2g22+φ3g23=J22φ1g31+φ2g32+φ3g33=J33
Подсчитываем проводимости ветвей
g11=1R1+r1+1R2+r2+1R5=14+0,3+17+0,5+14=0,61589 См
g22=1R3+r3+1R5+1R6=12+0,2+14+15=0,90455 См
g33=1R1+r1+1R4+1R6=14+0,3+12+15=0,93256 См
g12=g21=-1R5=-14=-0,25 См
g13=g31=-1R1+r1=-14+0,3=-0,23256 См
g23=g32=-1R6=-15=-0,2 См
Определяем значения узловых токов:
J11=E1R1+r1+E2R2+r2=1154+0,3+307+0,5=30,74419 A
J22=-E3R3+r3=-552+0,2=-25 A
J33=-E1R1+r1=-1154+0,3=-26,74419 A
Подставляем полученные данные в составленную выше систему уравнений
φ1g11+φ2g12+φ3g13=J11φ1g21+φ2g22+φ3g23=J22φ1g31+φ2g32+φ3g33=J33
После подстановки полученных значений имеем систему вида:
0,61589 φ1-0,25φ2-0,23256φ3=30,74419-0,25φ1+0,90455φ2-0,2φ3=25-0,23256φ1-0,2φ2+0,93256φ3=-26,74419
Решаем методом Крамера как и в методе контурных токов
Находим
∆=0,61589-0,25-0,23256-0,250,90455-0,2-0,23256-0,20,93256=0,36443
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=30,74419-0,25-0,23256-250,90455-0,2-26,74419-0,20,93256=10,74933
∆2=0,6158930,74419-0,23256-0,25-25-0,2-0,23256-26,744190,93256=-9,25828
∆3=0,61589-0,2530,74419-0,250,90455-25-0,23256-0,2-26,74419=-9,75609
Определяем потенциалы
φ1=∆1∆=10,749330,36443=29,49628
φ2=∆2∆=-9,258280,36443=-25,40482
φ3=∆3∆=-9,756090,36443=-26,77082
Определяем токи в ветвях по рис.2.4
I1=φ3-φ1+E1R1+r1=-26,77082-29,49628+1154+0,3=13,659 А
I2=φ4-φ1+E2R2+r2=0-29,49628+307+0,5=0,067 А
I3=φ2-φ4+E3R3+r3=-25,40482-0+552+0,2=13,452 А
I4=φ4-φ3R4=0-(-26,77082)2=13,385 А
I5=φ1-φ2R5=29,49628-(-25,40482)4=13,725 А
I6=φ3-φ2R6=-26,77082-(-25,40482)5=-0,273 А
Значения токов, вычисленных обоими методами, совпадают.
Составим баланс мощностей по значениям токов из метода контурных токов.
Суммарная мощность источников ЭДС
Pист=E1I1+E2I2+E3I3=115∙13,659+30∙0,067+5+55∙13,452=2312,655 Вт
Суммарная мощность приемников
Pпр=I12R1+r1+I22R2+r2+I32R3+r3+I42R4+I52R5+I62R6=13,6592∙4+0,3+0,06727+0,5+13,4522∙2+0,2+13,3852∙2+13,7252∙4+0,2732∙5=2312,573 Вт
Таким образом получили, что
Pист=Pпр, т.е