Для заданной электрической цепи выполнить следующее:
Произвольно задавшись направлением тока, проходящего через каждый элемент цепи, и направлением обхода контуров, составить систему уравнений, необходимых для определения токов по первому и второму законам Кирхгофа.
Преобразовать исходную трехконтурную схему в двухконтурную, заменив «треугольник» сопротивлений эквивалентной «звездой».
Для двухконтурной схемы составить систему уравнений для расчёта токов, используя законы Кирхгофа. Рассчитать эти токи.
Используя данные значения токов, рассчитать все токи, проходящие через каждый элемент цепи в трехконтурной схеме.
Изобразить исходную трехконтурную схему и, задав направления контурных токов, составить уравнения по методу контурных токов.
Используя значения контурных токов, определить токи, проходящие через каждый элемент цепи.
Составить баланс мощностей для заданной схемы.
Построить в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура, определив отдельно потенциалы всех промежуточных точек между элементами контура.
Рис.1.1. Заданная схема
Решение
Дано: Е1 = 6 В, Е2 = 20 В, Е3 = 4 В, R02 = 0,8 Ом, R03 = 1,2 Ом, R1 = 4 Ом, R2 = 6 Ом, R3 = 4 Ом, R4 = 4 Ом, R5 = 3 Ом, R6 = 3 Ом.
Рис.1.2. Схема к составлению уравнений по законам Кирхгофа
1.В получившейся схеме имеем n=4 узлов. Обозначим на схеме узлы электрической цепи 1, 2, 3, 4 и независимые контуры с их направлениями обхода, например, по часовой стрелке (рис. 1.2). Тогда при решении законами Кирхгофа по 1-му закону должно быть составлено n-1=4-1=3 уравнений. Также в схеме N=6 ветвей, поэтому по 2-му закону Кирхгофа при решении законами Кирхгофа должно быть составлено N-(n-1)=6-(4-1) =3 уравнений. Соответственно, всего должно быть 6 уравнений с шестью неизвестными токами. Таким образом, при расчете данной цепи по данному методу придется решать систему, состоящую из 6-ти уравнений.
-I1-I2-I3=0-для узла 1I3+I4-I6=0-для узла 2I2-I4-I5=0-для узла 3-I1R1+I2R2+R02+I5R5=E2-E1-для контура I-I2R2+R02+I3R3+R03-I4R4=E3-E2- для контура II-I5R5+I4R4+I6R6=0- для контура III
После подстановки исходных данных получим:
-I1-I2-I3=0I3+I4-I6=0I2-I4-I5=0-4I1+6,8I2+3I5=14-6,8I2+5,2I3-4I4=-16-3I5+4I4+3I6=0
2.Преобразуем исходную трехконтурную схему в двухконтурную, заменив «треугольник» сопротивлений эквивалентной «звездой» (рис.1.3):
Рис.1.3. Схема после преобразования
Эквивалентные сопротивления имеют значения:
R54=R5∙R4R4+R5+R6=3∙44+3+3=1,2 Ом
R46=R4∙R6R4+R5+R6=4∙34+3+3=1,2 Ом
R56=R5∙R6R4+R5+R6=3∙34+3+3=0,9 Ом
3.Составляем систему уравнений для узла 2 и двух контуров:
I1+I2+I3=0I2R02+R2+R54-I1R1+R56=E2-E1I3R03+R3+R46-I2R02+R2+R54=E3-E2
После подстановки исходных данных получим
I1+I2+I3=08I2-4,9I1=146,4I3-8I2=-16
Из 2-го уравнения системы выражаем I3
I1=8I2-144,9=1,633I2-2,857
Из 3-го уравнения системы выражаем I1
I3=-16+8I26,4=-2,5+1,25I2
Полученные выражения подставляем в первое уравнение системы
1,633I2-2,857+I2+-2,5+1,25I2=0
1,633I2-2,857+I2-2,5+1,25I2=0
3,883I2=5,357
I2=1,38 А
Ток I3 находим по ранее составленному выражению
I3=-2,5+1,25I2=-2,5+1,25∙1,38=-0,775 А
Ток I3 находим по первому закону Кирхгофа для узла 2
I1=-I2+I3=-1,38-0,775 =-0,605 А
4
. Используя данные значения токов, рассчитаем все токи, протекающие через каждый элемент цепи в трехконтурной цепи.
Уравнение для контура I исходной схемы
-I1R1+I2R2+R02+I5R5=E2-E1
Подставим вычисленные значения токов I1 и I2
--0,605·4+1,386+0,8+I5·3=20-6
2,42+9,384+3I5=14
11,804+3I5=14
I5=14-11,8043=0,732 А
Ток I4 находим по первому закону Кирхгофа из уравнения для узла 3 (рис.1.2):
I2-I4-I5=0
I4=I2-I5=1,38-0,732=0,648 А
Ток I6 находим по первому закону Кирхгофа из уравнения для узла 4
I1+I5+I6=0
I6=-I1-I5=--0,605-0,732=-0,127 А
Отрицательные значения токов I1, I3, I6 указывают, что они в действительности направлены в противоположную сторону относительно ранее выбранным направлениям на рис.1.2 исходной схемы.
Получили: I1=-0,605 А, I2=1,38 А, I3=-0,775 А, I4=0,648 А, I5=0,732 А, I6=-0,127 А
5.Изобразим исходную трехконтурную схему и, задав направления контурных токов, составим уравнения по методу контурных токов.
Рис.1.4. Схема расчета контурными токами
Определяем независимые контуры, выбираем направление контурных токов I11, I22, I33 (по часовой стрелке), условно-положительные направления токов в ветвях и составляем уравнения по методу контурных токов, обходя каждый контур в направлении его контурного тока.
I11R1+R2+R02+R5-I22(R2+R02)-I33R5=E2-E1-I11(R2+R02)+I22R2+R02+R3+R03+R4-I33R4=E3-E2-I11R5-I22R4+I33R4+R5+R6=0
Подставляем исходные данные
I114+6+0,8+3-I226+0,8-3I33=20-6-I116+0,8+I226+0,8+4+1,2+4-4I33=4-20-3I11-4I22+I334+3+3=0
Упрощаем
13,8I11-6,8I22-3I33=14-6,8I11+16I22-4I33=-16-3I11-4I22+10I33=0
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как
где из составленной выше системы уравнений собственные и смежные сопротивления контуров
R11=R1+R2+R02+R5=13,8; R12=R21=-(R2+R02)=-6,8;
R13=R31=-R5=-3; R22=R2+R02+R3+R03+R4=16;
R23=R32=-R4=-4; R33=R4+R5+R6=10
Находим
∆=13,8-6,8-3-6,816-4-3-410=13,8∙16∙10+-6,8∙-4∙-3+-6,8∙-4∙-3--3∙16∙-3--6,8∙-6,8∙10--4∙-4∙13,8=2208-81,6-81,6-144-462,4-220,8=1217,6
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=14-6,8-3-1616-40-410=736
∆2=13,814-3-6,8-16-4-3010=-944
∆3=13,8-6,814-6,816-16-3-40=-156,8
Находим контурные токи
I11=∆1∆=7361217,6=0,604 А
I22=∆2∆=-9441217,6=-0,775 А
I33=∆3∆=-156,81217,6=-0,129 А
6.В соответствии с принятыми направлениями токов в ветвях на рис.1.4 определяем токи в ветвях:
I1=-I11=-0,604 А
I2=I11-I22=0,604-(-0,775)=1,379 А
I3=I22=-0,775 А
I4=I33-I22=-0,129-(-0,775)=0,646
I5=I11-I33=0,604-(-0,129)=0,733 А
I6=I33=-0,129 А
Отрицательные значения токов указывают, что они в действительности направлены в противоположную сторону относительно ранее выбранным направлениям на рис.1.2 или рис.1.4 исходной схемы.
Получили: I1=-0,604 А, I2=1,379 А, I3=-0,775 А, I4=0,646 А, I5=0,733 А, I6=-0,129 А
7.Составим баланс мощностей
суммарная мощность источников
Pист=E1∙I1+E2∙I2+E3∙I3=6∙(-0,604 )+20∙1,379+4∙(-0,775 )=20,856 Вт
Мощность, рассеиваемая на нагрузке:
Pнагр=R1∙I12+(R2+R02)∙I22+(R3+R03)∙I32+R4∙I42+R5∙I52+R6∙I62
Pнагр=4∙0,6042+=(6+0,8)∙1,3792+(4+1,2)∙0,7752+4∙0,6462+3∙0,7332+3∙0,1292=20,845 Вт
Pист=Pнагр
20,856 Вт≈20,845 Вт
С незначительной погрешность от округлений промежуточных вычислений баланс выполняется.
8.Построим в масштабе потенциальную диаграмму для внешнего контура, определив отдельно потенциалы всех промежуточных точек между элементами контура
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
