Для заданного вала при τ=80 МПа G=8·104 MПa

1. На отдельной странице чертим расчетную схему с указанием исходных данных согласно таблице (рис. 4.1, а).
2. Из уравнения равновесия вала определяем реактивный момент в сечении заделки вала MA. Для этого проводим ось z в любую сторону и проектируем все внешние скручивающие моменты, действующие относительно оси z.
Mz=0; -MA-M1-M2+M3+M4=0;
Откуда
MA=-M1-M2+M3+M4=4 кНм.
Указываем числовое значение реактивного момента MA=4 кН∙м на расчетной схеме.
3. Делим вал на участки. Границами участков являются сечения приложения скручивающих моментов, сечения, где изменяется площадь поперечного сечения вала. Проводим через границы участков линии, перпендикулярные оси вала.
4. Присваиваем номер каждому участку. Чтобы не искать реакцию в заделке нумерацию участков следует вести со свободного конца вала. Если реакция в заделке определена с помощью уравнений равновесия, то нумерацию можно вести с любого конца вала. Для нашей задачи нумерацию участков начнем с левого конца вала.
5. Методом сечений определяем крутящий момент на каждом участке. Уравнение равновесия оставшейся части вала определяем с помощью метода местных координат (рис. 4.1, б, в, г, д). Расчет крутящих моментов сводим в таблицу 4.2.
Таблица 4.2. Расчет крутящих моментов.
№ участка Границы
участков Уравнение моментов на участке
I
0≤z≤0,2 м
mz=0; Mk1-MA=0;
Mk1=MA=4 кН∙м
II
0≤z≤0,7 м
mz=0; Mk2-MA-M1=0;
Mk2=MA+M1=4+2=6 кН∙м
III
0≤z≤0,5 м
mz=0; Mk3-MA-M1-M2=0;
Mk3=MA+M1+M2=4+2+3=9 кН∙м
IV
0≤z≤0,6 м
mz=0; Mk4-MA-M1-M2+M3=0;
Mk4=MA+M1+M2-M3=4+2+3-4==5 кН∙м
В конце расчета получили Mk4=M4, что свидетельствует о правильности расчетов.
По полученным значениям строим эпюру крутящих моментов (Рис . 4.1, е). По эпюре крутящих моментов определяем опасный участок. Это участок III , где действует максимальный крутящий момент Mmax=9 кН∙м.
6. Определяем диаметр вала из условия прочности:
τmax=MmaxWρ≤τ, (4.1)
где Wρ- полярный момент сопротивления сечения вала с круговым сечением, диаметром D.
Для сплошного сечения вала
Wp=πD316.
Из (4.1)
Wρ≥Mmaxτ=πD316;
D=316Mmaxπτ=316∙9∙1033,14∙80∙106=0,083 м=83 мм.
Определяем диаметр вала из условия жесткости:
θmax=MmaxG∙Iρ≤θ; (4.2)
где Ip- полярный момент инерции сечения вала.
Для сплошного сечения вала:
Ip=πD432
Тогда
-22860381032,57
48,85
73,27
40,71
Рисунок 4.1
D
 
M1=2 кНм
 
a=0,5м
 
b=0,6 м
 
c=0,2м
 
d=0,7 м
 
II
I
III
IV
z
M2=3 кНм
 
M3=4 кНм
 
M4=5 кНм
 
z
z
Mк1
 
Mк2
 
M1=2 кНм
 
z
Mк3
 
M2=3 кНм
 
Mк4
 
M1=2 кНм
 
M2=3 кНм
 
MA=10 кНм
 
MA=10 кНм
 
MA=10 кНм
 
MA=10 кНм
 
MA=10 кНм
 
эпюра Mк, 
кНм
4
6
9
5
эпюра τmax, 
МПа
а)
 
A
 
C
 
D
 
E
 
B
 
эпюра ϑ, 
×10-3рад
б)
 
в)
 
г)
 
д)
 
е)
 
ж)
 
з)
 
0
4,79
z
M1=2 кНм
 
M3=4 кНм
 
6
4
5
40,71
48,85
32,57
73,27
13,41
17,72
26,10
0032,57
48,85
73,27
40,71
Рисунок 4.1
D
 
M1=2 кНм
 
a=0,5м
 
b=0,6 м
 
c=0,2м
 
d=0,7 м
 
II
I
III
IV
z
M2=3 кНм
 
M3=4 кНм
 
M4=5 кНм
 
z
z
Mк1
 
Mк2
 
M1=2 кНм
 
z
Mк3
 
M2=3 кНм
 
Mк4
 
M1=2 кНм
 
M2=3 кНм
 
MA=10 кНм
 
MA=10 кНм
 
MA=10 кНм
 
MA=10 кНм
 
MA=10 кНм
 
эпюра Mк, 
кНм
4
6
9
5
эпюра τmax, 
МПа
а)
 
A
 
C
 
D
 
E
 
B
 
эпюра ϑ, 
×10-3рад
б)
 
в)
 
г)
 
д)
 
е)
 
ж)
 
з)
 
0
4,79
z
M1=2 кНм
 
M3=4 кНм
 
6
4
5
40,71
48,85
32,57
73,27
13,41
17,72
26,10
Ip≥MmaxGθ=πD432
D≥432MmaxπGθ=432∙9∙1033,14∙8∙104∙106∙0,05=0,028м=28 мм.
Окончательно принимаем большие значения расчетных диметров вала и округляем до значения кратного пяти