Для указанной оптимизационной задачи изобразить графически

Построим область допустимых решений задачи (ОДР), ограниченную неравенствами
x12-x1-x2≤2,x12-4x1+x2≤-3,x1≥0.
Перейдем от неравенств к равенствам:
x12-x1-x2=2,x12-4x1+x2=-3,x1=0.
Примем переменную x1 за ось абсцисс, а x2 за ось ординат.
Построим первое ограничение L1: x2=x12-x1-2 – парабола с вершиной в точке 12;-94, ветками направленными вверх и пересекающая ось ординат в точках -1;0 и 2;0.
Построим второе ограничение L2: x2=-x12+4x1-3 – парабола с вершиной в точке 2;1, ветками направленными вниз и пересекающая ось ординат в точках 1;0 и 3;0.
Чтобы определить расположение соответствующей полуплоскости относительно граничной прямой, подставим координаты какой-либо точки в левую часть каждого неравенства.
Так, например, подставим координаты точки M0;0 в левую часть первого и второго ограничения:
x12-x1-x2=02-0-0=0≤2,
x12-4x1+x2=02-4∙0+0=0≤-3.
Так как координаты этой точки удовлетворяют первому неравенству, следовательно, данная полуплоскость включает точку M0;0. Координаты точки не удовлетворяют второму неравенству, следовательно, данная полуплоскость не включает точку M0;0.
Штриховкой отметим найденные полуплоскости.
Так же построим область допустимых решений ограничений x1≥0.
Областью допустимых решений является закрашенная область, заключенная между двумя параболами.
Построим линии уровня целевой функции, проходящие в ОДР.
z=-x12-x22+8x1+8x2-32
z=x12+x22-8x1-8x2+32
z=x12-8x1+16+x22-8x2+16
z=x1-42+x2-42
Линии уровня представляют собой окружности с центром в точке O14;4.
Найдем глобальный максимум . Перемещаем линию уровня параллельно самой себе в направлении градиента до конца ОДР. Прямая z=const пересекает область в точке A, которая расположена в IV четверти.
Найдем глобальный минимум. Перемещаем линию уровня параллельно самой себе до первого касания с ОДР. Прямая z=const пересекает область в точке B, которая расположена в I четверти.
Так как точки A и B получены в результате пересечения прямых L1 и L2, то их координаты удовлетворяют системе уравнений:
x12-x1-x2=2,x12-4x1+x2=-3.
Сложим первое уравнение со вторым:
x12-x1-x2+x12-4x1+x2=2-3
2x12-5x1=-1
2x12-5x1+1=0
D=-52-4∙2∙1=25-8=17
x1=5-174≈0,2192; x2=x12-x1-2=0,21922-0,2192-2=-2,1712.
x1=5+174≈2,2808; x2=x12-x1-2=2,28082-2,2808-2=0,9212.
Решив систему уравнений, получим:
максимум: A0,2192; -2,1712
zmax=0,2192-42+-2,1712-42=52,3782
минимум: B2,2808; 0,9212
zmin=2,2802-42+0,9212-42=12,4367
Покажем, что ЗНП является задачей выпуклого программирования