Для табличной функции x 1 1 9 4 5 6 22 y

1. Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов равно пяти, следовательно, многочлен Лагранжа будет многочленом четвертой степени.
L4x=6.1∙x-1.9x-4x-5x-6.221-1.91-41-51-6.22+1.78∙x-1x-4x-5x-6.221.9-11.9-41.9-51.9-6.22+
+4∙x-1x-1.9x-5x-6.224-14-1.94-54-6.22+1∙x-1x-1.9x-4x-6.225-15-1.95-45-6.22+
+6∙x-1x-1.9x-4x-56.22-16.22-1.96.22-46.22-5.
После преобразований, получим
L4x=0.35601x4-5.05184x3+24.66648x2-48.20484x+34.33419.
2. Найдем точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
Найдем критические точки – нули производной.
L4'x=1.42404x3-15.15552x2+49.33296x-48.20484.
L4''x=4.27212x2-30.31104x+49.33296.
Отделим корни аналитически, найдем знаки первой и второй производных:
x
L4'x
L4''x
L'''4x
0 -48,20484 49,33296 -30,31104
1 -12,60336 23,29404 -21,76680
2 1,23132 5,79936 -13,22256
3 1,84344 -3,15108 -4,67832
4 -2,22276 -3,55728 3,86592
5 -2,42304 4,58076 12,41016
6 9,78684 21,26304 20,95440
7 42,95112 46,48956 29,49864
Т.к . на промежутках (1;2), (3;4) и (5;6) производная меняет знак, а вторая производная знакопостоянна, на этих промежутках находится по одному корню. Причем корень на промежутках (1,2) и (5,6) – минимумы исходной функции (производная меняет знак с «-» на «+»), на промежутке (2;3), соответственно – максимум (производная меняет знак с «+» на «-»).
Корни будем искать методом касательных.
xn+1=xn-fxnf'xn, n=0,1,2,3,…
Выберем начальное приближение из условия: fxf''x>0.
L4'''x=8.54424x—30.31104.
L4'''x<0 при x∈1;2 и L4'''x>0 при x∈5;6.
На промежутке x∈3;4 вторая производная не сохраняет знак