Для табличной функции:
x
1 1,8 4 5 6,24
y
6,2 1,76 4 1 6
1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа.
2. Найти точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
3. Построить график многочлена.
Ответ
1) L4x=0,35327x4-5,02989x3+24,64987x2-48,38314x+34,60989.
2) Экстремумы: x=1,8347±0.0001-минимум; x=3,4781±0.0001-максимум;
x=5,3658±0.0001-минимум; корней нет.
3) рис.1.
Решение
1. Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов равно пяти, следовательно, многочлен Лагранжа будет многочленом четвертой степени.
L4x=6,2∙x-1,8x-4x-5x-6,241-1,81-41-51-6,24+1,76∙x-1x-4x-5x-6,241,8-11,8-41,8-51,8-6,24+
+4∙x-1x-1,8x-5x-6,244-14-1,84-54-6,24+1∙x-1x-1,8x-4x-6,245-15-1,85-45-6,24+
+6∙x-1x-1,8x-4x-56,24-16,24-1,86,24-46,24-5.
После преобразований, получим
L4x=0,35327x4-5,02989x3+24,64987x2-48,38314x+34,60989.
2. Найдем точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
Найдем критические точки – нули производной.
L4'x=1,41309x3-15,08968x2+49,29974x-48,38314.
L4''x=4,23928x2-30,17937x+49,29974.
Отделим корни аналитически, найдем знаки первой и второй производных:
x
L4'x
L4''x
0 -48,38314 49,29974
1 -12,75998 23,35965
2 1,16236 5,89813
3 1,86246 -3,08484
4 -2,18113 -3,58924
5 -2,48984 4,38491
6 9,41488 20,83763
7 42,01160 45,76891
Т.к
. на промежутках (1;2), (3;4) и (5;6) производная меняет знак, а вторая производная знакопостоянна, на этих промежутках находится по одному корню. Причем корень на промежутках (1,2) и (5,6) – минимумы исходной функции (производная меняет знак с «-» на «+»), на промежутке (2;3), соответственно – максимум (производная меняет знак с «+» на «-»).
Корни будем искать методом касательных.
xn+1=xn-fxnf'xn, n=0,1,2,3,…
Выберем начальное приближение из условия: fxf''x>0.
L4'''x=8,69697x-30,79091.
L4'''x<0 при x∈1;2 и L4'''x>0 при x∈5;6.
На промежутке x∈3;4 вторая производная не сохраняет знак. Изменим границы
x∈2,6;3,5
L4'2,6=2,62646>0; L4''2,6=-0,50908<0; L4'''2,6=-8,13511<0.
L4'3,5=-0,09629<0; L4''3,5=-4,39686<0; L4'''3,5=-0,50441<0.
Следовательно, на промежутке x∈1;2 x0=1;на промежутке 2,6;3,5 x0=3,5; на промежутке x∈5;6 x0=6.
xn+1=xn-1,41309xn3-15,08968xn2+49,29974xn-48,383144,23928xn2-30,17937xn+49,29974
Результаты расчетов представим в таблице:
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 1 -12,759985 23,359654
1 1,546240 -3,007212 12,770709 0,546240
2 1,781718 -0,454797 8,986301 0,235477
3 1,832328 -0,019121 8,234317 0,050610
4 1,834650 -0,000039 8,200336 0,002322
5 1,834654 0,000000 8,200265 0,000005
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 3,5 -0,096286 -4,396861
1 3,478101 -0,000136 -4,383782 0,021899
2 3,478070 0,000000 -4,383761 0,000031
n
xn
fxn
f'xn
xn+1-xn
0 6 9,4148800 20,8376283
1 5,5481789 1,9817181 12,3539641 0,451821
2 5,3877674 0,2111022 9,7583173 0,160412
3 5,3661343 0,0036129 9,4249641 0,021633
4 5,3657510 0,0000011 9,4190930 0,000383
5 5,3657509 0,0000000 9,4190912 0,0000001
Получаем: x=1,8347±0.0001-минимум; x=3,4781±0.0001-максимум;
x=5,3658±0.0001-минимум.
Найдем корни многочлена
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
