Для табличной функции x 1 1 4 4 5 6 32 y

1. Построим интерполяционный многочлен Лагранжа.
Число узлов равно пяти, следовательно, многочлен Лагранжа будет многочленом четвертой степени.
L4x=6.6∙x-1.4x-4x-5x-6.321-1.41-41-51-6.32+1.68∙x-1x-4x-5x-6.321.4-11.4-41.4-51.4-6.32+
+4∙x-1x-1.4x-5x-6.324-14-1.44-54-6.32+1∙x-1x-1.4x-4x-6.325-15-1.45-45-6.32+
+6∙x-1x-1.4x-4x-56.32-16.32-1.46.32-46.32-5.
После преобразований, получим
L4x=0.41054x4-6.04985x3+30.81661x2-62.79901x+44.22171.
2. Найдем точки экстремума и корни многочлена, используя один из итерационных методов по выбору.
Найдем критические точки – нули производной.
L4'x=1.64216x3-18.14955x2+61.63322x-62.79901.
L4''x=4.92648x2-36.29910x+61.63322.
Отделим корни аналитически, найдем знаки первой и второй производных:
x
L4'x
L4''x
L'''4x
0 -62,79901 61,63322 -36,29910
1 -17,67318 30,26055 -26,44614
2 1,00651 8,74084 -16,59318
3 3,09302 -2,92590 -6,74022
4 -1,56069 -4,73969 3,11274
5 -1,56069 -4,73969 3,11274
6 -3,10166 3,29948 12,96570
7 8,32307 21,19161 22,81866
Т.к . на промежутках (1;2), (3;4) и (5;6) производная меняет знак, а вторая производная знакопостоянна, на этих промежутках находится по одному корню. Причем корень на промежутках (1,2) и (5,6) – минимумы исходной функции (производная меняет знак с «-» на «+»), на промежутке (2;3), соответственно – максимум (производная меняет знак с «+» на «-»).
Корни будем искать методом касательных.
xn+1=xn-fxnf'xn, n=0,1,2,3,…
Выберем начальное приближение из условия: fxf''x>0.
L4'''x=9.85296x-36.29910.
L4'''x<0 при x∈1;2 и L4'''x>0 при x∈5;6.
На промежутке x∈3;4 вторая производная не сохраняет знак