Для случайной величины заданной выборкой с надежностью и уровнем значимости

А) Построение интервального статистического ряда.
Определяем в ряду наблюдений (выборке) наименьшее и наибольшее значения признака: и .
Размах варьирования признака вычисляется по формуле: .
В нашем случае: .
Число интервалов (по условию): .
Длину частичного интервала определяем по формуле: .
Устанавливаем границы частичных интервалов. Так как по условию задан интервал , то за нижнюю границу первого частичного интервала принимаем величину а, то есть
а1 = а = – 6, тогда верхняя граница первого интервала равна: b1 = а1 + h. Получаем,
а1 = – 6, b1 = – 6+ 3= – 3;
а2 = – 3, b2 = – 3 + h = – 3+ 3 = 0;
…………………….
а10 = b9, b10 = а10 + h = 21 + 3 = 24.
Верхние и нижние границы интервалов определяем до тех пор, пока в последний интервал не попадет значение . Полученные результаты записываем в столбец 2 таблицы 1.
Подсчитать для каждого интервала абсолютные частоты mi (т.е. число выборочных данных, попадающих в каждый интервал), просматривая результаты наблюдений. При этом в интервал включают значения случайной величины, большие нижней границы и меньшие или равные верхней границе (). Полученные результаты записываем в столбец 3 табл. 1.
Подсчет частот для каждого интервала удобно проводить методом «конвертиков». Суть этого метода состоит в том, что попадание значения случайной величины в тот или иной интервал отмечается точкой или черточкой. В результате каждому десятку будет соответствовать фигура, похожая на конверт:
Таким образом, получили интервальный статистический ряд, область наблюдаемых значений Х разбита на непересекающихся и одинаковых по длине интервалов (столбец 2 табл. 1) с соответствующими частотами mi (столбец 3 табл. 1).
Контроль: , то есть объему выборки.
Вычислим относительную частоту попадания величины признака Х в i-ый частичный интервал. Полученные результаты записываем в столбец 5 таблицы 1. Находим контрольную сумму по этому столбцу: .
Таблица 1.
Номер
интервала
i
Интервальныйряд
Суммачастот вариантинтервала
mi Центрыинтервалов
xi Относительная частота
Wi = mi / n Плотность относительныхчастот
Hi = Wi / h
xi Wi
1 2 3 4 5 6 7 8
1. – 6 – (– 3) 8 – 4,5 0,04 0,013333 -0,18 9,809424
2. – 3 – 0 10 – 1,5 0,05 0,016667 -0,075 8,01378
3. 0 – 3 13 1,5 0,065 0,021667 0,0975 6,065514
4. 3 – 6 17 4,5 0,085 0,028333 0,3825 3,770226
5. 6 – 9 21 7,5 0,105 0,035 0,7875 1,406538
6 . 9 – 12 26 10,5 0,13 0,043333 1,365 0,056628
7. 12 – 15 44 13,5 0,22 0,073333 2,97 1,204632
8. 15 – 18 25 16,5 0,125 0,041667 2,0625 3,56445
9. 18 – 21 20 19,5 0,1 0,033333 1,95 6,95556
10. 21 – 24 16 22,5 0,08 0,026667 1,8 10,287648
Сумма по столбцам:

1 0,333333 11,16 51,1344
б) Используя полученный вариационный ряд, вычисляем высоты прямоугольников , из которых строится гистограмма относительных частот (столбец 6 табл.1):
Строим гистограмму относительных частот, наглядно описывающую характер изменения наблюдаемых значений признака Х.
Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно на оси ОХ отложить все 10 интервалов и на каждом из них построить прямоугольники с высотой, равной плотности относительных частот (столбцы 2 и 6 табл.1).

в) Составим эмпирическую функцию распределения и построим ее график.
Эмпирическая функция (кумулята) составляется по накопленным относительным частотам.
Составим таблицу с накопленными относительными частотами:
i
ai-bi
mi
F(xi)
1 -6 - (-3) 8 0,04
2 -3 - 0 10 0,09
3 0 - 3 13 0,155
4 3 - 6 17 0,24
5 6 - 9 21 0,345
6 9 - 12 26 0,475
7 12 - 15 44 0,695
8 15 - 18 25 0,82
9 18 - 21 20 0,92
10 21 - 24 16 1
Функция принимает значение 0 при ;
функция принимает значение при ;
функция принимает значение при ;
функция принимает значение при ;
и так далее,
функция принимает значение при .
Окончательно имеем функцию и ее график:
г) Найдём точечные и интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Для этого заменяем интервальный ряд дискретным, для чего все значения признака в пределах интервала приравниваем его срединному значению и считаем, что частота относится к середине частичного интервала
,
где и – соответственно нижняя и верхняя граница i-го частичного интервала. Полученные результаты записываем в столбец 4 табл. 1.
Воспользовавшись суммарным итогом столбцов 7 и 8 найдем точечные оценки математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. В качестве таких оценок выбираем:
– выборочное среднее значение
;
– выборочную дисперсию
;
– исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение
.
Далее, найдём интервальные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения.
Интервал называется доверительным интервалом для неизвестного параметра θ, если, с заданной доверительной вероятностью (надежностью) можно утверждать, что неизвестный параметр находится внутри этого интервала (накрывается интервалом)