Для производства различных изделий A и B используются три вида сырья

1). Составляем математическую модель нашей задачи.
Вводим обозначения для плановых количеств производимых изделий:
x1 – количество изготавливаемых изделий вида A (единиц);
x2 – количество изготавливаемых изделий вида B (единиц).
При этом прибыль от их реализации составит F = 3·x1 + 2·x2 руб.
Целью решения задачи является определение среди всех допустимых таких плановых значений x1 и x2, которые обеспечивают максимальную прибыль от реализации изделий.
Рассмотрим ограничения задачи.
Количества изготавливаемых изделий не могут быть отрицательными, поэтому x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.
Другие ограничения задачи связаны с обеспеченностью производства сырьем трех видов.
Математическая запись указанных ограничений такова:
9·x1 + 5·x2 ≤ 1431 – имеющийся запас сырья первого вида не может быть превышен, кг;
7·x1 + 8·x2 ≤ 1224 – имеющийся запас сырья второго вида не может быть превышен, кг;
4·x1 + 16·x2 ≤ 1328 – имеющийся запас сырья третьего вида не может быть превышен, кг.
В целом соотношения математической модели задачи об оптимальном планировании производства изделий A и B выглядят следующим образом:
F = 3·x1 + 2·x2 max
при ограничениях
9·x1 + 5·x2 ≤ 1431;
7·x1 + 8·x2 ≤ 1224;
4·x1 + 16·x2 ≤ 1328;
x1 ≥ 0; x2 ≥ 0.
2). Решаем задачу табличным симплексным методом.
Для решения задачи симплекс-методом применяется каноническая форма её записи. В такой задаче осуществляется поиск неотрицательных значений переменных, для которых линейная целевая функция достигает максимума. При этом неравенства исходной задачи преобразуют в равенства с неотрицательной правой частью за счет введения дополнительных неотрицательных переменных.
Получаем:
F = 3·x1 + 2·x2 + 0·(x3 + x4 + x5)  max;
9·x1 + 5·x2 + 1·x3 = 1431;
7·x1 + 8·x2 + 1·x4 = 1224;
4·x1 + 16·x2 + 1·x5 =1328;
x1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0. 
Здесь дополнительные переменные x3, x4 и x5 введены для перехода от неравенств к равенствам. Они включены в целевую функцию с нулевыми коэффициентами.
Переменные x3, x4 и x5 образуют естественный базис. Начальное опорное решение (0; 0; 1431; 1224; 1328) допустимо.
Приступаем к этапу построения начальной (нулевой) симплекс-таблицы.
Построение нулевой симплекс-таблицы состоит в её заполнении данными на основании канонической записи задачи и найденного базиса:
Начальная (нулевая) симплекс-таблица:
Базис C B 3 2 0 0 0 Оценочные отношения
x1 x2 x3 x4 x5
x3 0 1431 9 5 1 0 0 159 – min
x4 0 1224 7 8 0 1 0 1224/7
x5 0 1328 4 16 0 0 1 332
F0 0 –3 –2 0 0 0 –
В данной таблице:
1) первая строка постоянна и содержит коэффициенты целевой функции;
2) вторая строка постоянна и содержит обозначения переменных;
3) первый столбец содержит обозначения базисных переменных;
4) второй столбец C содержит коэффициенты целевой функции для базисных переменных;
5) третий столбец B содержит свободные члены системы ограничений;
6) матрица (строки 3 – 5, столбцы 4 – 8), содержащая в столбцах векторы коэффициентов при переменных системы ограничений;
7) нижняя строка – оценочная; первое число в оценочной строке – текущее значение целевой функции; вычисляется как скалярное произведение векторов C и B;
8) остальная часть оценочной строки содержит оценочные элементы переменных; их значения определяются как скалярное произведение вектора C на векторы коэффициентов при переменных за вычетом значения соответствующего коэффициента целевой функции .
Работа с симплекс-таблицей состоит в следующем:
1) среди оценочных элементов переменных находим наибольший по модулю отрицательный; этот столбец будет разрешающим; соответствующая переменная может быть переведена в разряд базисных;
2) для выбранного разрешающего столбца вычисляются значения оценочных отношений как результат деления соответствующих элементов вектора B на положительные элементы разрешающего столбца; из всех оценочных отношений выбирается минимальное, и при этом соответствующая строка будет разрешающей;
3) на пересечении разрешающих столбца и строки находится разрешающий элемент.
В соответствии с нашей начальной симплекс-таблицей разрешающий столбец (выделен цветом) соответствует переменной x1, которая переводится в разряд базисных. Разрешающей строкой (выделена цветом) выбираем строку, соответствующую переменной x3, которая выводится из состава базисных. Разрешающий элемент равен 9.
На основании начальной (нулевой) симплекс-таблицы приступаем к построению новой (первой) симплекс таблицы.
Получение каждой новой симплекс-таблицы на основании предыдущей выполняется по одной и той же схеме:
1) в разрешающей строке все элементы (включая и элемент вектора B) делятся на разрешающий элемент;
2) элементы разрешающего столбца (за исключением разрешающего элемента, который стал равным единице) обнуляются;
3) все остальные элементы матрицы (в том числе и элементы вектора B, а также оценочной строки) пересчитываются по правилу прямоугольника (новое значение равно старому значению за вычетом произведения соответствующих элементов из разрешающей строки и столбца, поделенного на разрешающий элемент);
сформулированное правило условно представим на фрагментах предыдущей и новой симплекс-таблиц, на которых разрешающий столбец и разрешающая строка делят область симплекс-таблицы на четыре подобласти, и укажем при этом необходимые вычислительные формулы:
Предыдущая симплекс-таблица
b1
d2
d1
b2
b3
a1 a2 a3 r a4 a5 a6
d3 b4
b5
b6
d4
Новая симплекс-таблица
0
d2 – a5·b1/r
d1 – a2·b2/r
0
0
a1/r a2/r a3/r 1 a4/r a5/r a6/r
d3 – a3·b4/r 0
0
0
d4 – a6·b6/r
4) в первом столбце старая базисная переменная заменяется новой, а также обновляется соответствующее значение в столбце C.
Таким образом, получена новая (первая) симплекс-таблица:
Базис C B 3 2 0 0 0 Оценочные отношения
x1 x2 x3 x4 x5
x1 3 159 1 5/9 1/9 0 0 1431/5
x4 0 111 0 37/9 –7/9 1 0 27 – min
x5 0 692 0 124/9 –4/9 0 1 1557/31
F1 477 0 –1/3 1/3 0 0 –
В оценочной строке среди оценочных элементов переменных имеется отрицательный, следовательно, результат не оптимален.
Определяем разрешающие столбец и строку, в соответствии с которыми переменная x2 переводится в разряд базисных, а переменная x3 выводится из состава базисных.
Таким образом, получаем новую (вторую) симплекс-таблицу:
Базис C B 3 2 0 0 0 Оценочные отношения
x1 x2 x3 x4 x5
x1 3 144 1 0 8/37 –5/37 0
x2 2 27 0 1 –7/37 9/37 0
x5 0 320 0 0 80/37 –124/37 1
F2 486 0 0 10/37 3/37 0 –
В оценочной строке среди оценочных элементов переменных отсутствуют отрицательные