Для представленных ниже заданий в той последовательности как они приведены

А) n=1∞2nn*5n+1
an=2nn*5n+1
an+1=2n+1n+1*5n+2
Используем признак сходимости Даламбера:
limn→∞an+1an=limn→∞2n+1n+1*5n+22nn*5n+1=limn→∞2n+1*n*5n+1n+1*5n+2*2n=limn→∞2n*2*n*5n*5n+1*5n*25*2n=limn→∞2*nn+1*5=∞∞=limn→∞2n5n+5=limn→∞2nn5nn+5n=limn→∞25+5n→0=25<1
Следовательно, ряд сходится.
б) n=1∞-1nn2+3
Используем признак Лейбница:
1) n=1∞-1nn2+3=-14+17-112+…
Данный ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→∞1n2+3=0
1n+12+3<1n2+3
то есть, каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: an+1<an, а это означает, что убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞1n2+3Используем первый признак сравнения.
Сравним данный ряд с рядом n=1∞1n2, который сходится
limn→∞anbn=limn→∞1n2+31n2=limn→∞n2n2+3=1
Следовательно, ряд сходится абсолютно.
в) n=1∞3n*xnn
an=3n*xnn
an+1=3n+1*xn+1n+1
limn→∞an+1an=limn→∞3n+1*xn+1n+13n*xnn=limn→∞3n+1*xn+1*nn+1*3n*xn =limn→∞3n*3*xn*x*nn+1*3n*xn =limn→∞3*x*nn+1 =x*limn→∞3nn+1 =x*3
Значит область сходимости
x*3<1
x<13
-13<x<13
Проверим сходимость на правой границе интервала:
x=13; n=1∞3n*13nn=n=1∞1n
Данный ряд является гармоническим рядом, который расходится
Проверим сходимость на левой границе интервала:
x=--13; n=1∞3n*-13nn=n=1∞-1nn
Используем признак Лейбница:
1) n=1∞-1nn=-1+12-13+…
Данный ряд является знакочередующимся.
2) limn→+∞an=limn→∞1n=0
члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий, значит, убывание монотонно.
Ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем ряд на абсолютную сходимость:
n=1∞an=n=1∞1n
Данный ряд расходится
Значит, границы не включают в область сходимости
-13<x<13
г)x31+x4, x0=0
Формула Тейлора имеет вид:
fx=fa+f'a1!x-a+f''a2!x-a2+f'''a3!x-a3+…+fnan!x-an
y0=031+04=0
x31+x4=-1x+14+3x+13-3x+12+1x+1
Найдем производные:
y'=-1x+14+3x+13-3x+12+1x+1'=-1x+12+6x+13-9x+14+4x+15
y'0=0
y''=-1x+12+6x+13-9x+14+4x+15'=2x+13-18x+14+36x+15-20x+16
y''0=0
y'''=2x+13-18x+14+36x+15-20x+16'==-6x+14+72x+15-180x+16+120x+17
y'''0=6
y''''=-6x+14+72x+15-180x+16+120x+17'=24x+15-360x+16+1080x+17-840x+18
y''''0=-96
yn=x31+x4n=--1n*3n!1+x4+n
yn0=--1n*3n!
x31+x4=63!x3-964!x4+…+--1n*3n!n!xn
д) fx=1-2x
Заданная функция f(x) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, поэтому имеем равенство
fx=a02+n=1∞ancosπnxπ+bnsinπnxπ=a02+n=1∞ancosnx+bnsinnx
Где an и bn определяются по формулам
an=-ππfxcosπnxπdx=-ππfxcosnxdx
bn=-ππfxsinπnxπdx=-ππfxsinnxdx
Коэффициент a0:
a0=1π-ππfxdx=1π-ππ1-2xdx=1πx-x2-ππ=1ππ-π2-1π-π--π2=2
Определим коэффициенты an:
an=-ππfxcosnxdx=-ππ1-2xcosnxdx=uv-vdu=u=1-2xdu=-2dxdv=cosnxv=sinnxn=1-2xsinnxn-ππ+2n-ππsinnxdx=1-2xsinnxn+2n*-cosnxn-ππ=1-2xsinnxn-2cosnxn2-ππ=1-2πsinnπn-2cosnπn2-1-2*-πsin-πnn-2cos-πnn2=0-2*-1nn2-0-2*-1nn2=0
Определим коэффициенты bn:
bn=-ππfxsinnxdx=-ππ1-2xsinnxdx=uv-vdu=u=1-2xdu=-2dxdv=sinnxv=-cosnxn=-1-2xcosnxn-ππ-2n-ππcosnxdx=2x-1cosnxn-2sinnxn2-ππ=2π-1cosπnn-2sinπnn2-2*-π-1cos-πnn-2sin-πnn2=2π-1-1nn-0-2*-π-1-1nn-0=4π*-1nn
Подставляя найденные значения коэффициентов Фурье в формулу, получаем:
fx=22+n=1∞0*cosnx+4π*-1nnsinnx=1+n=1∞4π*-1nnsinnx