Для представленных ниже заданий в той последовательности как они приведены

А) xy'=ylnyx
y'=yxlnyx
Сделаем замену:
y=ux;y'=u'x+u;u=yx
u'x+u=uxxlnuxx
u'x+u=ulnu
u'x=ulnu-u
u'=ulnu-ux
dudx=ulnu-ux
duulnu-u=dxx
lnlnu-1=lnx+C
lnu-1=Cx
lnu=Cx+1
Сделаем обратную замену:
lnyx=Cx+1
y=xeCx+1
Сделаем чертеж интегральных кривых:
б) ydx-2xdy=2y4dy
ydx-2xdy-2y4dy=0
ydx+-2x-2y4dy=0
ydxdy-2x-2y4=0
dxdy-2xy-2y3=0
dxdy-2xy=2y3
Сделаем замену:
x=uv;x'=u'v+uv'
u'v+uv'-2uvy=2y3
u'v+uv'-2vy=2y3
Составим систему:
v'-2vy=0u'v=2y3
Решаем каждое уравнение систем отдельно:
v'-2vy=0
v'=2vy
dvdy =2vy
dvv =2dyy
lnv=2lny
v=y2
Подставляем во второе уравнение системы:
u'*y2=y3
u'=y3y2
dudy=y
du=ydy
u=y22+C
Общее решение:
x=y22+C*y2
x=y42+Cy2
Сделаем чертеж интегральных кривых:
в) y''+4y'-12y=8sin2x, y0=-1;y'0=1
Искомое решение имеет вид:
yx=yx+y*(x)
Составим характеристическое уравнение:
k2+4k-12=0
Его корни равны:
k1=-6 и k2=2
Следовательно, общее решение имеет вид:
yx=C1e-6x+C2e2x
y*(x) выберем в виде:
y*=Acos2x+Bsin2x
Находим производные:
y'x=-2Asin2x+2Bcos2x
y''x=-4Acos2x-4Bsin2x
И подставляем в левую часть уравнения:
-4Acos2x-4Bsin2x+4*-2Asin2x+2Bcos2x-12*Acos2x+Bsin2x=8sin2x
-4Acos2x-4Bsin2x-8Asin2x+8Bcos2x-12Acos2x-12Bsin2x=8sin2x
-16Acos2x+8Bcos2x-16Bsin2x-8Asin2x=8sin2x
-16A+8B=0,-16B-8A=8.
B=2A,-16*2A-8A=8.
B=2A,-32A-8A=8.
B=2A,-40A=8.
B=-25,A=-15.
y*=-15cos2x-25sin2x
Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:
yx=C1e-6x+C2e2x-15cos2x-25sin2x
Найдем y'(x):
y'x=-6C1e-6x+2C2e2x+25sin2x-45cos2x
И подставим в начальные условия:
C1+C2-15=-1,-6C1+2C2-45=1.
C1+C2=-1+15,-6C1+2C2=1+45.
C1=-45-C2,-6*-45-C2+2C2=95.
C1=-45-C2,245+6C2+2C2=95.
C1=-45-C2,4C2=95-245.
C1=-45+38,C2=-38.
C1=-1740,C2=-38.
Тогда частное решение окончательно примет вид:
y=-1740e-6x-38e2x-15cos2x-25sin2x