Для плоского поля скорости vx=x+2t vy=yt2

1) Траекторию находим из системы уравнений
dxdt=vxdydt=vy
Для поля скорости (1) имеем
dxdt=x+2tdydt=yt2
(2) Поскольку траектория в момент времени t=0 проходит через точку A(-1, 1) имеем следующие начальные условия
x0=-1, y0=1.
(3) Решим задачу Коши (2), (3). Из первого уравнения имеем
dxx+2=tdt, ⟹ dxx+2=tdt, ⟹ lnx+2=t22+C1⟹
x+2=et22+C1, ⟹ x+2=±eC1∙et22=C1et22,
где введено обозначение C1=±eC1.
x(t)=-2+C1et22
Постоянную C1 найдем из первого начального условия (3)
x0=-2+C1=-1, ⟹ C1=1.
x(t)=et22-2.
Аналогично, решаем второе уравнение системы (2)
dyy=t2dt, ⟹ dyy=t2dt, ⟹ lny=t33+C2⟹
y=et33+C2, ⟹ y=±eC2∙et33=C2et33,
где введено обозначение C2=±eC2.
yt=C2et33.
Постоянную C2 найдем из второго начального условия (3)
y0=C2=1.
y(t)=et33.
Таким образом уравнение траектории в параметрическом виде будет
xt=et22-2, y(t)=et33.
(4) Из (4) видно, что при t>0, x>-1 . Тогда из (4) можно исключить t
et22=x+2, ⟹ t22=lnx+2, ⟹ t=lnx+2212.
Тогда уравнение траектории можно записать в виде
y=e13lnx+2232.
(5)
2) Найдем линии тока поля скорости (1).
В момент времени t=0
vx=0, vy=0.
Следовательно, в этот момент времени среда была неподвижна, линии тока не существуют.
В любой другой фиксированный момент времени t>0 найти линии тока можно.
Уравнение линий тока
dxvx=dyvy
В нашем случае имеем
dxx+2t=dyyt2, ⟹ dxx+2=dyyt
dyy=tdxx+2=, ⟹ lny= tlnx+2+C, ⟹ y=±eCx+2t
Следовательно, в любой фиксированный момент времени t>0 уравнение линий тока будет
y=Cx+2t.
3) Найдем вихрь скорости
Ω=rot v=∇×v=ijk∂∂x∂∂y∂∂zvxvyvz.
В плоском случае vz=0, поэтому
Ω=∂vy∂x-∂vx∂yk.
В нашем случае для поля скорости (1) имеем
Ω=∂∂xyt2-∂∂yx+2tk=0-0k=0.
Следовательно, течение безвихревое (потенциальное).
4) Компоненты тензора скоростей деформации для плоского течения определяются по формуле
εij=12∂vi∂xj+∂vj∂xi, где i,j=1,2 (или x,y)
ε11=∂vx∂x=∂∂xx+2t=t,
ε12=ε21=12∂vx∂y+∂vy∂x=12∂∂yx+2t+∂∂xyt2=0
ε22=∂vy∂y=∂∂yyt2=t2
Таким образом тензор скоростей деформации имеет вид
εij=t00t2
5) Сжимаемость среды
I=div V=∂vx∂x+∂vy∂y=ε11+ε22=t+t2.
Следовательно, при t>0 среда сжимаема, скорость объемного расширения равна I=t+t2.
6) Ускорение точек среды равно
a=dVdt=∂V∂t+V∙∇V.
Или в координатном виде
ax=∂vx∂t+vx∂vx∂x+vy∂vx∂y,
ay=∂vy∂t+vx∂vy∂x+vy∂vy∂y.
В нашем случае
ax=∂∂tx+2t+x+2t∂∂xx+2t+yt2∂∂yx+2t=
=x+2+x+2t∙t+yt2∙0=x+21+t2,
ay=∂∂tyt2+x+2t∂∂xyt2+yt2∂∂yyt2=
=2yt+x+2t∙0+yt2∙t2=y2t+t4.
Ответ:
1) xt=et22-2, y(t)=et33 или y=e13lnx+2232;
2) При t=0 линий тока не существует (среда неподвижна), при фиксированных t>0 семейство линий тока y=Cx+2t;
3) Ω=0;
4) εij=t00t2;
5) I=t+t2;
6) ax=x+21+t2, ay=y2t+t4.