Для плоского поля скорости v=(vx vy) vx=4x

1) Найдем линии тока поля скорости (1).
Линия тока − это линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением поля скорости.
В момент времени t=0
vx=4x, vy=-3y+1.
Уравнение линий тока
dxvx=dyvy
В нашем случае имеем
dx4x=dy-3y+1
dyy-1/3=-34dxx, ⟹ lny-13=-34lnx+C1, ⟹
y-13=x-34∙eC1, ⟹ y-13=±eC1x-34=Cx-34,
где введено обозначение C=±eC1.
Следовательно, в момент времени t=0 уравнение линий тока
yx=13+Cx-34.
Для линии, проходящей при t=0 через точку A(1, 1/6) имеем
16=13+C⋅1-34=13+C, ⟹ C=-16
Следовательно, уравнение этой линии тока
yx=13-16x-34.
Траекторию находим из системы уравнений
dxdt=vxdydt=vy
Для поля скорости (1) имеем
dxdt=4xdydt=-3y+e3t
(2)
Поскольку траектория в момент времени t=0 проходит через точку A(1, 1/6) имеем следующие начальные условия
x0=1, y0=1/6.
(3)
Решим задачу Коши (2), (3) . Из первого уравнения имеем
dxx=4dt, ⟹ dxx=4dt, ⟹ lnx=4t+C1⟹
x=e4t+C1, ⟹ x=±eC1∙e4t=C1e4t,
где введено обозначение C1=±eC1.
x(t)=C1e4t
Постоянную C1 найдем из первого начального условия (3)
x0=C1=1.
x(t)=e4t.
Аналогично, решаем второе уравнение системы (2)
yt=yоднt+yчастt=C2e-3t+yчастt.
Частное решение неоднородного уравнения ищем, исходя из вида неоднородности
yчастt=Deαt.
Подставляем в уравнение
Dαeαt=-3Deαt+e3t, ⟹ α=3
3D=-3D+1, ⟹ D=16, ⟹ yчастt=16e3t.
yt=C2e-3t+16e3t.
Постоянную C2 найдем из второго начального условия (3)
y0=C2+16=16, ⟹ C2=0.
y(t)=16e3t.
Таким образом, уравнение траектории в параметрическом виде будет
xt=e4t, y(t)=16e3t.
(4)
Из (4) можно исключить t, находим x34=e3t