Для пирамиды с вершинами в точках A14 -1 4 A24 -3 6 A33 -1 3

а) длина ребра A1A2
Найдем по формуле
A1A2=x2-x12+y2-y12+z2-z12
A14;-1;4;A24;-3;6
A1A2=4-42+-3-(-1)2+6-42=
=0+4+4=8=4∙2=22ед.≈2,83ед.;
б) угол между ребрами A1A2и A1A4
Угол между ребрами A1A2 и A1A4 найдем по формуле
cosα=A1A2∙A1A4A1A2∙A1A4
A1A2=x2-x1;y2-y1;z2-z1=4-4;-3--1;6-4=0;-2;2;
A1A4=x2-x1;y2-y1;z2-z1=4-4;-2--1;3-4=0;-1;-1;
A1A4=x2-x12+y2-y12+z2-z12=02+(-1)2+(-1)2=
=2ед.≈1,41ед.;
cos∠A2A1A4=0∙0+(-2)∙(-1)+2∙(-1)22∙2=0
∠A2A1A4=arccos 0=π2
в) уравнение плоскости A1A2A3
Уравнение плоскости, проходящей через точки A1;A2;A3:
А1А2А3:x-xА1y-yА1z-zА1xА2-xА1yА2-yА1zА2-zА1xА3-xА1yА3-yА1zА3-zА1=0
A14;-1;4;A24;-3;6;A33;-1;3
x-4y--1z-44-4-3--16-43-4-1--13-4=0
x-4y+1z-40-22-10-1=
=x-4-220-1-y+102-1-1+z-40-2-10=
=x-4-2∙-1-0∙2-y+10∙-1--1∙2+z-40--1∙-2=
=2x-4-2y+1-2z-4=0
x-4-y+1-z-4=0
x-y-z-1=0- уравнение плоскости А1А2А3
г) площадь грани A1A2A3
A1A2=0;-2;2
A1A3=x2-x1;y2-y1;z2-z1=3-4;-1-(-1);3-4=-1;0;-1;
N=А1А2хА1А3=ijk0-22-10-1=220-1i-02-1-1j+0-2-10k=
=2∙-1-0∙2i-0∙-1--1∙2j+0--1∙-2k=
=-2i-2j-2k=-2;-2;-2;
N=(-2)2+(-2)2+(-2)2=12=4∙3=23
Тогда
SА1А2А3=12N
SА1А2А3=12∙23=3( ед.2)≈1,73( ед.2)
д) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2 A3
sinφ=А1А4∙NА1А4∙N
A1A4=0;-1;-1;A1A4=2;N=-2;-2;-2;N=23
sinφ=0∙-2+-1∙-2+-1∙-22∙23=42∙23=26≈0,8165
φ=arcsin0,8165≈0,96 рад