Для матрицы P=15015096815188253 1831 построить UUT–разложение матрицы P

1. Построим UUT–разложение матрицы P.
Для данном разложении есть эквивалентная запись UUT=LTL, где UT – верхняя треугольная матрица, а L – нижняя треугольная матрица со строго положительными элементами на диагонали. Причем U=LT. Разложение Холецкого всегда существует и единственно для любой симметричной положительно-определённой матрицы.
P=15015096815188253 1831
Находим заданное разложение
l11=15≈3,87; l21=015=0; l31=1515≈3,87; l41=115 ≈0,26
l22=96-02≈9,80; l32=8-0∙3,879,8=0,82; l42=8-0,26∙09,8=0,82
l33=25-152-0,822≈3,05; l43=3-0,26∙3,87-0,82∙0,823,05=0,43
l44=1-0,262-0,822-0,432=0,27
Следовательно, матрица L такова:
L=3,870009,803,870,260,820,823,050,43 0000,27, а LT= 3,8703,8709,80,8200003,050 0,260,820,430,27
Тогда UUT–разложение матрицы P примет вид:
P=UUT= 3,8703,8709,80,8200003,050 0,260,820,430,27∙3,870009,803,870,260,820,823,050,43 0000,27
2 . С помощью UUT–разложения матрицы P решим систему линейных уравнений Px=b, где вектор b=2, 8, -4, 0T.
Если разложение получено, то решение системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: UTy=b и Ux=y.
Решим треугольную матрицу UTy=b. Перепишем её в виде системы уравнений:
3,87y1=2,9,8y2=8,3,87y1+0,82y2+3,05y3=-4.0,26y1+0,82y2+0,43y3+0,27y4=0
Из первого и второго уравнений системы имеем y1=0,52 и y2=0,82.
Тогда из третьего уравнения системы получаем, что
3,05y3=-4-3,87y1-0,82y2=-4-3,87∙0,52-0,82∙0,82=-6,68
y3=-2,19
Из четвёртого уравнения системы получаем, что
0,27y4=-0,26y1-0,82y2-0,43y3=-0,26∙0,52-0,82∙0,82-0,43∙-2,19=0,54
y4=0,13
Следовательно, решением UTy=b является вектор y=0,52, 0,82, -2,19, 0,54T.
Теперь решим систему уравнений соответствующую Ux=y