Для изготовления продукции двух видов A и B фирма расходует ресурсы, а от реализации этой продукции получает доход. Информация о нормах затрат ресурсов на единицу выпускаемой продукции, запасах расходуемых ресурсов, имеющихся в распоряжении фирмы, и выручки от реализации продукции приведены в таблице:
Наименование ресурсов Норма затрат Объем ресурса
Продукт A
Продукт B
Сырье (кг) 3 1 216
Оборудование (ст. час.) 1 3 144
Трудоресурсы (чел. час.) 7 1 780
Цена реализации (руб.) 201 187
Задача фирмы заключается в том, чтобы найти план выпуска, обеспечивающий получение максимальной выручки от реализации готовой продукции.
Требуется:
Построить математическую модель оптимизации выпуска продукции и записать ее в форме задачи линейного программирования.
Используя графический метод решения, найти оптимальный план выпуска продукции.
Составив двойственную задачу, к задаче оптимизации выпуска продукции, найти ее оптимальное решение, используя условия «дополняющей нежесткости». Дать экономическую интерпретацию этого решения.
Ответ
фирме необходимо произвести 63 штуки продукта A и 27 штук продукта B, чтобы получить максимальную выручку от реализации продукции 17712 руб.
Решение
Пусть x1 – количество продукта A, шт.; x2 – количество продукта B, шт.
Экономико-математическая модель задачи выглядит следующим образом:
Максимизировать выручку от реализации продукции (руб.)
F=201x1+187x2
при ограничениях на количество ресурсов:
сырье (кг):
3x1+x2≤216;
оборудование (ст. час.):
x1+3x2≤144;
трудоресурсы (чел. час.):
7x1+x2≤780;
условие неотрицательности:
xj≥0, j=1,2.
Таким образом, модель задачи примет вид:
F=201x1+187x2→max
3x1+x2≤216,x1+3x2≤144,7x1+x2≤780,
xj≥0, j=1,2.
Решим задачу графическим методом. С учетом системы ограничений построим область допустимых решений. Строим в системе координат x1Ox2 прямые:
1: 3x1+x2=216,
2:x1+3x2=144,
3: 7x1+x2=780.
Изобразим полуплоскости, определяемые системой ограничений. Находим область допустимых решений как общую часть полученных полуплоскостей – многоугольник ABCD. Вектор градиентного направления ∇F=201;187⟹∇F10=(20,1;18,7).
Строим линию уровня целевой функции, перпендикулярную вектору градиентного направления F=0
. Перемещаем данную прямую в направлении вектора-градиента до последнего касания области допустимых решений. В точке C целевая функция достигает максимума.
Координаты точки C – точки пересечения (1) и (2):
3x1+x2=216,x1+3x2=144.⟹3144-3x2+x2=216,x1=144-3x2.⟹x1*=63x2*=27.
Целевая функция достигает наибольшего значения при x1*=63; x2*=27. Значение целевой функции
Fmax=F63, 27=201∙63+187∙27=17712 (руб.).
Для построения двойственной задачи нам потребуется математическая модель прямой задачи.
F=201x1+187x2→max
3x1+x2≤216,x1+3x2≤144,7x1+x2≤780,y1y2y3
xj≥0, j=1,2.
Прямая задача содержит три ограничения, поэтому в двойственной задаче должно быть три переменных - y1, y2, y3. Поскольку в прямой задаче все ограничения имеют вид неравенств, то на переменные двойственной задачи налагаются условия неотрицательности. Из этих переменных составим вектор Y=y1, y2,y3
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
