Для функции y=y(x) заданной таблицей своих значений

Запишем таблицу разделённых разностей:
fxi;xi+1=yi+1-yixi+1-xi;i=0,…,3.
fxi;xi+1;…;xi+k=fxi+1;xi+2;…;xi+k-fxi;xi+1;…;xi+k-1xi+k-xi; k=1,…,4
xi
yi
fxi;xi+1
fxi;xi+1;xi+2
fxi;xi+1;xi+2;xi+3
fxi;xi+1;xi+2;xi+3;xi+4
-7 2 -3,5 1 -0,125 -1/24
-5 -5 0,5 0,25 -0,416(6)
-3 -4 1,5 -1,833(3)
-1 -1 -4
0 -5
Если определить произведение:
ωix=x-x0∙x-x1∙…∙x-xi-1,
то первый полином Ньютона 4-го порядка можно записать:
N4Ix=y0+fx0;x1ω1x+fx0;x1;x2ω2x+fx0;x1;x2;x3ω3x+
+fx0;x1;x2;x3;x4ω4x.
Итак,
N4Ix=2+3.5x+7+x+7x+5-x+7x+5x+38-
-x+7x+5x+3x+124;
N4Ix=-x424-19x324-107x224-185x24-5
Приближённое значение функции в точке x0=-6.22:
f-6.22≈N4I-6.22≈1.3982.
Погрешность при x0=-6.22 приближённо можно оценить как модуль последнего слагаемого ε≤(x0+7)x0+5x0+3x0+124=0.666.
С учётом погрешности f-6.22=1.398±0.666.