Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта и изображенной на рис. 1-1 – 1-20, выполнить следующее:
Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.
Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
Определить токи во всех ветвях методом узловых потенциалов.
Результаты расчетов токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.
Составить баланс мощности в исходной схеме (с источником тока), вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).
Дано:
R1=45 Ом;
R2=60 Ом;
R3=33 Ом;
R4=15 Ом;
R5=21 Ом;
R6=75 Ом;
E2=16,5 В;
E3=22,5 В;
Iк2=0,3 А
Iк3=0 А
Решение
Источник тока Iк3 равен нулю. Исключаем его из схемы. Источник тока Iк2 может быть преобразован в источник ЭДС. При этом, полученный источник будет соединен последовательно с источником ЭДС E2. Выполняем преобразование:
E2'=Iк2R2+E2=0,3∙60+16,5=34,5 В
Схема после преобразования имеет вид:
Число узлов у=4, количество ветвей с неизвестными токами в=6. Задаемся положительными направлениями токов.
По первому закону Кирхгофа составляется у-1=4-1=3 уравнения:
узел a:I3+I4-I5=0
узел b: I1+I2-I4=0
узел c: -I1+I5-I6=0
В цепи в-у-1=6-4-1=3 независимых контура. и Указываем на схеме направление обхода контуров – против часовой стрелки. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
контур I: -I2R2+I3R3-I4R4=-E2'+E3
контур II: -I1R1+I2R2+I6R6=E2'
контур III: I1R1+I4R4+I5R5=0
Объединяем уравнения, записанные по первому и второму законам Кирхгофа в систему и подставляем исходные данные:
I3+I4-I5=0aI1+I2-I4=0b-I1+I5-I6=0c-60I2+33I3-15I4=-34,5+22,5=-12I-45I1+60I2+75I6=34,5II45I1+15I4+21I5=0III
Считаем, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток I11, I22, I33. Произвольно задаем направление контурных токов.
Составляем систему уравнений по МКТ в общем виде (по второму закону Кирхгофа):
I11R11-I22R12-I33R13=E11-I11R21+I22R22-I33R23=E22-I11R31+I22R32-I33R33=E33
Определяем суммарные сопротивления контуров, взаимные сопротивления контуров и алгебраические суммы ЭДС контуров:
R11=R2+R3+R4=60+33+15=108 Ом
R22=R1+R2+R6=45+60+75=180 Ом
R33=R1+R4+R5=45+15+21=81 Ом
R12=R21=R2=60 Ом
R13=R31=R4=15 Ом
R23=R32=R1=45 Ом
E11=-E2'+E3=-34,5+22,5=-12 В
E22=E2'=34,5 В
E33=0
Подставим найденные значения в систему уравнений:
108I11-60I22-15I33=-12-60I11+180I22-45I33=34,5-15I11-45I22+81I33=0
Записываем полученную систему в матричной форме:
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (контурных токов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
108-60-15-60180-45-15-4581∙I11I22I33=-1234,50
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера
. Вычисляем главный определитель системы:
Δ=108-60-15-60180-45-15-4581=942840
Заменяем коэффициенты при соответствующих неизвестных свободными членами и вычисляем определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=-12-60-1534,5180-450-4581=40297,5
Δ2=108-12-15-6034,5-45-15081=227623,5
Δ3=108-60-12-6018034,5-15-450=133920
По формулам Крамера определяем контурные токи:
I11=Δ1Δ=40297,5942840=0,043 А
I22=Δ2Δ=227623,5942840=0,241 А
I33=Δ3Δ=133920942840=0,142 А
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1=I33-I22=0,142-0,241=-0,099 А
I2=I22-I11=0,241-0,043=0,199 А
I3=I11=0,043 А
I4=I33-I11=0,142-0,043=0,099 А
I5=I33=0,142 А
I6=I22=0,241 А
Заземлим узел «d».
Потенциал узла «d»:
φd=0.
Для оставшихся узлов запишем систему уравнений по МУП в общем виде (по первому закону Кирхгофа):
Gaaφa-Gabφb-Gacφc=Iaa-Gbaφa+Gbbφb-Gbcφc=Ibb-Gcaφa-Gcbφb+Gccφc=Icc
Вычислим собственные проводимости узлов:
Gaa=1R3+1R4+1R5=133+115+121=0,145 См
Gbb=1R1+1R2+1R4=145+160+115=0,106 См
Gcc=1R1+1R5+1R6=145+121+175=0,083 См
Общие проводимости узлов:
Gab=Gba=1R4=115=0,067 См
Gac=Gca=1R5=121=0,048 См
Gbc=Gcb=1R1=145=0,022 См
Узловые токи:
в узле «a»: Iaa=E3R3=22,533=0,682 А
в узле «b»: Ibb=E2'R2=34,560=0,575 А
в узле «c»: Icc=0
Подставим найденные значения в систему уравнений:
0,145φa-0,067φb-0,048φc=0,682-0,067φa+0,106φb-0,022φc=0,575-0,048φa-0,022φb+0,083φc=0
Записываем полученную систему в матричной форме:
0,145-0,067-0,048-0,0670,106-0,022-0,048-0,0220,083∙φaφbφc=0,6820,5750
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (узловых потенциалов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
