Для электрической схемы, соответствующей номеру варианта и изображенной на рис. 1-1 - 1-20, выполнить следующее:
Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов во всех ветвях схемы.
Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.
Результаты расчета токов, проведенного двумя методами, свести в таблицу и сравнить между собой.
Составить баланс мощности в исходной схеме, вычислив суммарную мощность источников и суммарную мощность нагрузок (сопротивлений).
Дано:
R1=6 Ом;
R2=19,5 Ом;
R3=13,5 Ом;
R4=15 Ом;
R5=7,5 Ом;
R6=9 Ом;
E2=16,2 В;
E3=15 В;
Iк2=0,4 А
Iк3=0 А
Решение
Источник тока Iк3 равен нулю. Исключаем его из схемы. Источник тока Iк2 может быть преобразован в эквивалентный источник ЭДС, полученный источник будет соединен последовательно с источником ЭДС E1. Выполняем преобразование:
E2'=Iк2R2+E2=0,4∙19,5+16,2=37,5 В
Схема после преобразования имеет вид:
Число узлов q=4, количество ветвей с неизвестными токами p=6. Задаемся положительными направлениями токов.
По первому закону Кирхгофа составляется q-1=4-1=3 уравнения:
для узла a:-I1+I3-I5=0
для узла b: -I2+I4+I5=0
для узла c: I1+I2-I6=0
В цепи p-q-1=6-4-1=3 независимых контура. Указываем на схеме направление обхода контуров – по часовой стрелке. Составляем уравнения по второму закону Кирхгофа:
для контура I: -I3R3+I4R4-I5R5=-E3
для контура II: I1R1+I3R3+I6R6=E3
для контура III: -I1R1+I2R2+I5R5=E2'
Запишем систему уравнений, подставив числовые значения:
-I1+I3-I5=0a-I2+I4+I5=0bI1+I2-I6=0c-13,5I3+15I4-7,5I5=-15I6I1+13,5I3+9I6=15II-6I1+19,5I2+7,5I5=24III
Считаем, что в каждом независимом контуре течет свой контурный ток I11, I22, I33. Произвольно задаем направление контурных токов.
Составляем систему уравнений по МКТ в общем виде (по второму закону Кирхгофа):
I11R11-I22R12-I33R13=E11-I11R21+I22R22-I33R23=E22-I11R31+I22R32-I33R33=E33
Определяем суммарные сопротивления контуров, взаимные сопротивления контуров и алгебраические суммы ЭДС контуров:
R11=R3+R4+R5=13,5+15+7,5=36 Ом
R22=R1+R3+R6=6+13,5+9=28,5 Ом
R33=R1+R2+R5=6+19,5+7,5=33 Ом
R12=R21=R3=13,5 Ом
R13=R31=R5=7,5 Ом
R23=R32=R1=6 Ом
E11=-E3=-15 В
E22=E3=15 В
E33=E2'=24 В
Подставим найденные значения в систему уравнений:
36I11-13,5I22-7,5I33=-15-13,5I11+28,5I22-6I33=15-7,5I11-6I22+33I33=24
Записываем полученную систему в матричной форме:
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (контурных токов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
36-13,5-7,5-13,528,5-6-7,5-633∙I11I22I33=-151524
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера
. Вычисляем главный определитель системы:
Δ=36-13,5-7,5-13,528,5-6-7,5-633=23729,625
Заменяем коэффициенты при соответствующих неизвестных свободными членами и вычисляем определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=-15-13,5-7,51528,5-624-633=864
Δ2=36-15-7,5-13,515-6-7,52433=17232,75
Δ3=36-13,5-15-13,528,515-7,5-624=20587,5
По формулам Крамера определяем контурные токи:
I11=Δ1Δ=86423729,625=0,036 А
I22=Δ2Δ=17232,7523729,625=0,726 А
I33=Δ3Δ=20587,523729,625=0,868 А
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
I1=I22-I33=0,726-0,868=-0,141 А
I2=I33=0,868 А
I3=I22-I11=0,726-0,036=0,69 А
I4=I11=0,036 А
I5=I33-I11=0,868-0,036=0,831 А
I6=I22=0,726 А
Принимаем потенциал узла d равным нулю:
φd=0.
Для оставшихся узлов запишем систему уравнений по МУП в общем виде (по первому закону Кирхгофа):
Gaaφa-Gabφb-Gacφc=Iaa-Gbaφa+Gbbφb-Gbcφc=Ibb-Gcaφa-Gcbφb+Gccφc=Icc
Вычислим собственные проводимости узлов:
Gaa=1R1+1R3+1R5=16+113,5+17,5=0,374 См
Gbb=1R2+1R4+1R5=119,5+115+17,5=0,251 См
Gcc=1R1+1R2+1R6=16+119,5+19=0,329 См
Общие проводимости узлов:
Gab=Gba=1R5=17,5=0,133 См
Gac=Gca=1R1=16=0,167 См
Gbc=Gcb=1R2=119,5=0,051 См
Узловые токи:
в узле «a»: Iaa=E3R3=1513,5=1,111 А
в узле «b»: Ibb=-E2'R2=-2419,5=-1,231 А
в узле «c»: Icc=E2'R2=2419,5=1,231 А
Подставим найденные значения в систему уравнений:
0,374φa-0,133φb-0,167φc=1,111-0,133φa+0,251φb-0,051φc=-1,231-0,167φa-0,051φb+0,329φc=1,231
Записываем полученную систему в матричной форме:
0,051-0,133-0,167-0,1330,251-0,051-0,167-0,0510,329∙φaφbφc=1,111-1,2311,231
A∙X=B,
где X – вектор столбец неизвестных (узловых потенциалов), A – матрица коэффициентов, B – вектор столбец свободных членов.
Для решения системы линейных уравнений воспользуемся методом Крамера
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
