Для электрической схемы (рис. 1) выполнить следующее задание:
1) Упростить схему, заменив последовательно и параллельно соединённые резисторы ветвей эквивалентными. Дальнейший расчёт вести для упрощённой схемы;
2) Составить на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчёта токов во всех ветвях схемы;
3) Определить токи во всех ветвях схемы методом контурных токов;
4) Определить токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов;
5) Составить баланс мощностей для электрической цепи;
6) Начертить потенциальную диаграмму для внешнего контура.
Дано: R1=82 Ом; R2=94 Ом; R3=47 Ом; R4'=32 Ом; R4''=94 Ом; R5'=27 Ом; R5''=12 Ом; R6'=72 Ом; R6''=19 Ом; E1=26 В; E2=43 В; E3=36 В.
Рисунок 1 – Расчётная схема
Решение
Упростим схему, заменив последовательно и параллельно соединённые резисторы ветвей эквивалентными.
R4=R4'∙R4''R4'+R4''=32∙9432+94=23,873 Ом;
R5=R5'+R5''=27+12=39 Ом;
R6=R6'∙R6''R6'+R6''=72∙1972+19=15,033 Ом.
Упрощенная схема показана на рисунке 2.
Рисунок 2 – Расчётная схема к методу непосредственного применения законов Кирхгофа и методу контурных токов
2) Составим на основании законов Кирхгофа систему уравнений для расчёта токов во всех ветвях схемы.
Расставим направления токов. Количество токов в схеме равно 6, значит и уравнений надо 6.
Количество узлов в схеме 4, значит по первому закону Кирхгофа нужно 3 уравнения.
узел a: -I1+I2+I4=0;узел b: -I2+I5-I6=0;узел c: I3-I4-I5=0.
Количество независимых контуров 3. Составим уравнения по второму закону Кирхгофа:
контур 1: I2∙R2-I4∙R4+I5∙R5=E2;контур 2: I1∙R1+I3∙R3+I4∙R4=E1+E3;контур 3: -I5∙R5-I3∙R3-I6∙R6=-E3.
Объединим полученные системы в одну и найдём токи.
-I1+I2+I4=0;-I2+I5-I6=0;I3-I4-I5=0;I2∙R2-I4∙R4+I5∙R5=E2;I1∙R1+I3∙R3+I4∙R4=E1+E3;-I5∙R5-I3∙R3-I6∙R6=-E3.
3) Определим токи во всех ветвях схемы методом контурных токов.
Задаёмся условно-положительными направлениями контурных токов (рис. 1).
Составляем систему уравнений, показывающую взаимосвязь между исходными и контурными токами.
I1=Iк2;I2=Iк1;I3=Iк2-Iк3;I4=-Iк1+Iк2;I5=Iк1-Iк3;I6=-Iк3.
Составляем систему уравнений по методу контурных токов:
контур 1: Iк1∙R2+R4+R5-Iк2∙R4-Iк3∙R5=E2;контур 2: -Iк1∙R4+Iк2∙R1+R3+R4-Iк3∙R3=E1+E3;контур 3: -Iк1∙R5-Iк2∙R3+Iк3∙R3+R5+R6=-E3.
Подставляем в полученную систему численные значения сопротивлений и ЭДС источников:
Iк1∙94+23,873+39-Iк2∙23,873-Iк3∙39=43;-Iк1∙23,873+Iк2∙82+47+23,873-Iк3∙47=26+36;-Iк1∙39-Iк2∙47+Iк3∙47+39+15,033=-36.
Iк1∙156,873-Iк2∙23,873-Iк3∙39=43;-Iк1∙23,873+Iк2∙152,873-Iк3∙47=62;-Iк1∙39-Iк2∙47+Iк3∙101,033=-36.
Для решения системы уравнений воспользуемся методом Крамера
. Вычисляем главный определитель системы:
Δ=156,873-23,873-39-23,873152,873-47-39-47101,033=156,873∙152,873∙101,033-23,873∙-47∙-39-39∙-23,873∙-47--39∙152,873∙-39-156,873∙-47∙-47--23,873∙-23,873∙101,033=1698785,736.
Заменяем коэффициенты при соответствующих неизвестных свободными членами и вычисляем определители ∆1, ∆2 и ∆3:
Δ1=43-23,873-3962152,873-47-36-47101,033=43∙152,873∙101,033+62∙-47∙-39+-36∙-23,873∙-47--36∙152,873∙-39-43∙-47∙-47-62∙-23,873∙101,033=577317,982;
Δ2=156,87343-39-23,87362-47-39-36101,033=156,873∙62∙101,033-23,873∙-36∙-39-39∙43∙-47--39∙62∙-39-156,873∙-36∙-47--23,873∙43∙101,033=771943,96;
Δ3=156,873-23,87343-23,873152,87362-39-47-36=156,873∙152,873∙-36-23,873∙-47∙43-39∙-23,873∙62--39∙152,873∙43-156,873∙-47∙62--23,873∙-23,873∙-36=-23353,952.
По формулам Крамера определяем контурные токи.
Iк1=Δ1Δ=577317,9821698785,736=0,34 А;
Iк2=Δ2Δ=771943,961698785,736=0,454 А;
Iк3=Δ3Δ=-23353,9521698785,736=-0,014 А.
Находим исходные токи:
I1=Iк2=0,454 А;I2=Iк1=0,34 А;I3=Iк2-Iк3=0,454--0,014=0,468 А;I4=-Iк1+Iк2=-0,34+0,454=0,115 А;I5=Iк1-Iк3=0,34--0,014=0,354 А;I6=-Iк3=--0,014=0,014 А.
4) Определим токи во всех ветвях схемы методом узловых потенциалов.
Заземлим узел d и примем его потенциал равным нулю (рис. 3). Следовательно, необходимо составить три уравнения для нахождения потенциалов узлов a, b, c.
Рисунок 3 – Расчётная схема для метода узловых потенциалов
Составляем систему уравнений по методу узловых потенциалов.
1R1+1R2+1R4∙φa-1R2∙φb-1R4∙φc=-E1∙1R1+E2∙1R2;-1R2∙φa+1R2+1R5+1R6∙φb-1R5∙φc=-E2∙1R2;-1R4∙φa-1R5∙φb+1R3+1R4+1R5∙φc=E3∙1R3.
Подставляем в полученную систему численные значения сопротивлений и ЭДС источников:
182+194+123,873∙φa-194∙φb-123,873∙φc=-26∙182+43∙194;-194∙φa+194+139+115,033∙φb-139∙φc=-43∙194;-123,873∙φa-139∙φb+147+123,873+139∙φc=36∙147.
0,0647∙φa-0,0106∙φb-0,0419∙φc=0,1404;-0,0106∙φa+0,1028∙φb-0,0256∙φc=-0,4574;-0,0419∙φa-0,0256∙φb+0,0888∙φc=0,766.
Для решения системы уравнений воспользуемся методом Крамера
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
