Для электрической цепи по заданным сопротивлениям и ЭДС выполнить следующее

Составим систему уравнений по первому и второму законам Кирхгофа. Обозначим на схеме узлы, независимые контура и условно-положительные направления токов в ветвях (рис.1.2):
Рис.1.2. Схема к составлению уравнений по законам Кирхгофа
Проведем анализ цепи: схема содержит четыре узла (1, 2, 3, 4), шесть ветвей, значит, для определения токов в ветвях по законам Кирхгофа необходимо составить систему из шести уравнений для неизвестных токов. Число уравнений по первому закону Кирхгофа должно быть равно трём (на одно меньше количества узлов), а остальные три уравнения записываются по второму закону Кирхгофа для трех независимых контуров I, II, III. Например, если направление обхода выбрать по часовой стрелке, как обозначено на рис.1.2, то система уравнений по законам Кирхгофа запишется как
I1+I2+I3=0-для узла 1-I1-I4+I5=0-для узла 2-I3-I5-I6=0-для узла 3I1R1+R01-I2R2-I4R4=E1-E2-для контура II4R4+I5R5-I6R6=0-для контура II-I1R1+R01-I5R5+I3R3+R03=E3-E1-для контура III
Подставляем исходные данные и получим систему:
I1+I2+I3=0-I1-I4+I5=0-I3-I5-I6=01,1I1-2I2-3I4=-23I4+8I5-4I6=0-1,1I1-8I5+7,1I3=-11
Найдем токи методом контурных токов
Для трех контуров схемы выберем направление обхода контуров по часовой стрелке и в соответствии с обозначенными на схеме направлениями токов составим уравнения по второму закону Кирхгофа для этих контуров (рис.1.3):
Рис.1.3. Схема для составления уравнений по методу контурных токов
Обозначим направления обхода контуров по часовой стрелке и составим для них уравнения по второму закону Кирхгофа:
I11R1+R01+R2+R4-I22R4-I33R1+R01=E1-E2-I11R4+I22R4+R5+R6-I33R5=0-I11R1+R01-I22R5+I33R1+R01+R3+R03+R5=E3-E1
После подстановки исходных данных имеем
I111+0,1+2+3-3I22-I331+0,1=20-22-3I11+I223+8+4-8I33=0-I111+0,1-8I22+I331+0,1+6+1,1+8=9-20
Упрощаем
6,1I11-3I22-1,1I33=-2-3I11+15I22-8I33=0-1,1I11-8I22+16,2I33=-11
Решим систему по методу Крамера (с помощью определителей):
Находим - главный определитель системы как

Находим
∆=6,1-3-1,1-315-8-1,1-816,2=6,1∙15∙16,2+-3∙-8∙-1,1+-3∙-8∙-1,1--1,1∙15∙-1,1--3∙-3∙16,2--8∙-8∙6,1=1482,3-26,4-26,4-18,15-145,8-390,4=875,15
Аналогично находим остальные определители как k - определитель, полученный из определителя заменой столбца с номером k, столбцом правой части системы уравнений
∆1=-2-3-1,1015-8-11-816,2=-803,5
∆2=6,1-2-1,1-30-8-1,1-1116,2=-687,9
∆3=6,1-3-2-3150-1,1-8-11=-988,5
Находим контурные токи
I11=∆1∆=-803,5875,15=-0,918 А
I22=∆2∆=-687,9875,15=-0,786 А
I33=∆3∆=-988,5875,15=-1,130 А
Найдем реальные токи в ветвях по величине и направлению:
I1=I11-I33=-0,918--1,130=0,212 A
I2=-I11=0,918 A
I3=I33=-1,130 A
I4=I22-I11=-0,786--0,918=0,132 A
I5=I22-I33=-0,786--1,130=0,344 A
I6=-I22=0,786 A
Получившийся отрицательным значение тока I3 означает, что в действительности направление этого тока противоположно тому, что было условно выбрано и обозначено на рис.1.3.
3.Упростим схему, заменив треугольник сопротивлений R4, R5 и R6 эквивалентной звездой; начертим расчетную схему с эквивалентной звездой, и покажем на ней токи (рис.1.4), где:
R45=R4∙R5R4+R5+R6=3∙83+8+4=1,6 Ом
R46=R4∙R6R4+R5+R6=3∙43+8+4=0,8 Ом
R56=R5∙R6R4+R5+R6=8∙43+8+4=2,133 Ом
Рис.1.4 . Схема с эквивалентной звездой
Изобразим схему в удобном для расчета виде (рис.1.5):
Рис.1.5. Расчетная схема
Определяем проводимости ветвей:
Y1=1R1+R01+R45=11+0,1+1,6=0,37037 См
Y2=1R2+R46=12+0,8=0,35714 См
Y3=1R3+R03+R56=16+1,1+2,133=0,10831 См
Определяем межузловое напряжение между узлами 1 и 2:
U12=E1Y1+E2Y2+E3Y3Y1+Y2+Y3=20·0,37037+22·0,35714+9·0,108310,37037+0,35714+0,10831=19,429 B
Находим токи в ветвях
I1=E1-U12R1+R01+R45=20-19,429 1+0,1+1,6=0,211 A
I2=E2-U12R2+R46=22-19,429 2+0,8=0,918 A
I3=E3-U12R3+R03+R56=9-19,429 6+1,1+2,133=-1,130 A
Остальные токи находим из уравнений, составленных для замкнутых контуров I, II, III по законам Кирхгофа по рис.1.2 или рис.1.3:
из уравнения для контура I
I1R1+R01-I2R2-I4R4=E1-E2
0,2111+0,1-0,918·2-I4·3=20-22
0,2321-1,836-I4·3=-2
I4=0,2321-1,836+23=0,132 А
по первому закону Кирхгофа для узла 2:
-I1-I4+I5=0, откуда
I5=I1+I4=0,211+0,132=0,343 А
по первому закону Кирхгофа для узла 3:
-I3-I5-I6=0=0, откуда
I6=-I3-I5=--1,130-0,343=1,13-0,343=0,787 А
Все значения вычисленных токов совпадают со значениями в методе контурных токов.
4.Определим ток в ветви с сопротивлением R6 методом эквивалентного генератора (рис.1.6):
Рис.1.6