Для данного дифференциального уравнения второго порядка найдите частное решение

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.
Составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:
r2 +6 r + 8 = 0
D=62 - 4·1·8=4
Корни характеристического уравнения:
r1 = -2
r2 = -4
Следовательно, общее решение однородного уравнения имеет вид:
Рассмотрим правую часть:
f(x) = -x2+2*x+3
Поиск частного решения.
Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:
R(x) = eαx(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы
имеет частное решение
= xkeαx(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))
где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).
Здесь P(x) = -x2+2•x+3, Q(x) = 0, α = 0, β = 0.
Следовательно, число α + βi = 0i не является корнем характеристического уравнения.
Уравнение имеет частное решение вида:
= Ax2 + Bx + C
Вычисляем производные:
y' = 2·A·x+B
y'' = 2·A
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' + 6y' + 8y = (2·A) + 6(2·A·x+B) + 8(Ax2 + Bx + C) = -x2+2·x+3
или
8·A·x2+12·A·x+2·A+8·B·x+6·B+8·C = -x2+2·x+3
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
x2: 8A = -1
x: 12A + 8B = 2
1: 2A + 6B + 8C = 3
Решая ее, находим:
A = -1/8;B = 7/16;C = 5/64;
Частное решение имеет вид:
·=-1/8x2 + 7/16x + 5/64
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
Найдем частное решение при условии: y(0) = 1, y'(0) = 0
Поскольку y(0) = c1+c2+5/64, то получаем первое уравнение:
c1+c2+5/64 = 1
Находим первую производную:
y' = -2·c1·e-2·x-4·c2·e-4·x-x/4+7/16
Поскольку y'(0) = -2*c1-4*c2+7/16, то получаем второе уравнение:
-2·c1-4·c2+7/16 = 0
В итоге получаем систему из двух уравнений:
c1+c2+5/64 = 1
-2·c1-4·c2+7/16 = 0
которую решаем методом исключения переменных.
c1 = 13/8, c2 = -45/64
Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде: