Для изготовления шоколада двух видов используется сырье трех видов. Запасы сырья известны и равны соответственно: 252, 120 и 240 тонн. Количество сырья каждого вида, необходимое для производства единицы шоколада первого вида соответственно равны: 14, 4 и 2 тонны. Для шоколада второго вида: 4, 4 и 12 тонн. Прибыль от реализации шоколада первого вида составляет 30 условных единиц, от шоколада второго вида – 40 условных единиц.
Составить план, обеспечивающий наибольшую прибыль производству.
а) записать математическую модель;
б) решить задачу графическим методом;
в) решить задачу симплекс-методом;
г) к исходной задаче записать двойственную и решить её, используя соотношение двойственности и решение исходной.
Решение
Пусть шоколада вида 1 необходимо выпустить х1 т, вида 2 – х2 т, тогда ограничения
по сырью 1:14x1+4x2≤252,
по сырью 2:4x1+14x2≤120,
по сырью 3:2x1+12x2≤240,
по неотрицательности переменных:
x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Прибыль определяется как F=30x1+40x2, которую необходимо максимизировать.
Математическая модель имеет вид:
F = 30x1+40x2 → max
14x1+4x2≤252,4x1+14x2≤120,2x1+12x2≤240,x1 ≥ 0,x2 ≥ 0.
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 30x1+40x2 → max при системе ограничений:
14x1+4x2≤252, (1)4x1+14x2≤120, (2)2x1+12x2≤240, (3)x1 ≥ 0, (4)x2 ≥ 0, (5)
Шаг №1. Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение 14x1+4x2 = 252 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 63. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 18. Соединяем точку (0;63) с (18;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:14 ∙ 0 + 4 ∙ 0 - 252 ≤ 0, т.е. 14x1+4x2 - 252≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 4x1+14x2 = 120 по двум точкам
. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 8.57. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 30. Соединяем точку (0;8.57) с (30;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:4 ∙ 0 + 14 ∙ 0 - 120 ≤ 0, т.е. 4x1+14x2 - 120≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Построим уравнение 2x1+12x2 = 240 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 20. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 120. Соединяем точку (0;20) с (120;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:2 ∙ 0 + 12 ∙ 0 - 240 ≤ 0, т.е. 2x1+12x2 - 240≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.
Шаг №2. Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Шаг №3. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 30x1+40x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 30x1+40x2 = 0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
