Для данного ряда найти а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда. Бесплатный доступ к контрольной работе

Реферат.Справочник
Контрольные работы по высшей математике
Для данного ряда найти а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда

Для данного ряда найти а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда .pdf

Зарегистрируйся в 2 клика в Кампус и получи неограниченный доступ к материалам с подпиской Кампус+ 🔥

Условие

Для данного ряда найти а) радиус сходимости и указать область сходимости ряда; б) выписать первые три члена ряда. n=0∞x+3nn+5

Ответ

а) радиус сходимости R=1, область сходимости -4, -2, б) a0=15, a1=x+36, a2=x+327.

Решение

Потяни, чтобы посмотреть

Найдем радиус сходимости и область сходимости ряда.
Запишем ряд в виде
n=0∞cnx+3n, где cn=1n+5
Тогда радиус сходимости степенного ряда ищем по формуле
R=limn→∞cncn+1=limn→∞1n+51n+1+5=limn→∞n+6n+5=1.
Тогда интервал сходимости ряда имеет вид -3-R, -3+R, то есть -4, -2.
Исследуем ряд на концах интервала сходимости.
Пусть x=-4 . Тогда получаем числовой ряд
n=0∞-4+3nn+5=n=0∞-1nn+5.
Получили знакочередующийся ряд. Обозначим
an=-1nn+5=1n+5 → an+1=1n+6.
Так как для любого n
an>an+1,
limn→∞an=limn→∞1n+5=0,
то по признаку Лейбница ряд n=0∞-1nn+5 сходится. Значит точка x=-4 входит в область сходимости степенного ряда.
Пусть x=-2

50% задачи недоступно для прочтения

Переходи в Кампус, регистрируйся и получай полное решение

Получить задачу