Для цепи изображенной на рисунке 1 в соответствии с номером варианта 1. Рассчитать все токи в ветвях методом контурных токов.

1. Рассчитать все токи в ветвях методом контурных токов.
Произвольно выбираем направление контурных токов
Перед началом расчёта упростим схему в соответствии с заданием и источник тока (в нашем случае Iк1) заменим эквивалентной э.д.с., которую удобнее внести в шестую ветвь. Выбираем произвольно направление токов в ветвях. Получим следующую схему:
Э.д.с. Eк1=Iк1∙R6=(-4)∙20=-80 В
Вычислим контурные и взаимные сопротивления, причём контурные сопротивления всегда со знаком "плюс", а взаимные со знаком "плюс", если направление контурных токов, протекающих через взаимное сопротивление, совпадает и знак "минус" – если не совпадает.
R11=R3+R4+R5=10+30+40=80 Ом
R22=R1+R2+R3=50+30+10=90 Ом
R33=R2+R5+R6=30+40+20=90 Ом
R12=R21=-R3=-10 Ом
R13=R31=-R5=-40 Ом
R23=R32=-R2=-30 Ом
Вычисляем контурные эдс, причём если направление эдс совпадает с направлением контурного тока, то эдс берётся со знаком "плюс", если не совпадает, то – "минус".
E11=0
E22=E1-E2=120-120=0
E33=E2-Eк1=120--80=200 В
Составляем матрицы сопротивлений:
Δ=R11R12R13R21R22R23R31R32R33=80-10-40-1090-30-40-3090=399000
Δ1=E11R12R13E22R22R23E33R32R33=0-10-40090-30200-3090=780000
Δ2=R11E11R13R21E22R23R31E33R33=800-40-100-30-4020090=560000
Δ3=R11R12E11R21R22E22R31R32E33=80-100-10900-40-30200=1420000
Контурные токи будут равны:
I11=Δ1Δ=780000399000=1,955 А
I22=Δ2Δ=560000399000=1,404 А
I33=Δ3Δ=1420000399000=3,559 А
Находим истинные токи:
I1=I22=1,404 А
I2=-I22+I33=-1,404+3,559=2,155 А
I3=I11-I22=1,955-1,404=0,551 А
I4=I11=1,955 А
I5=-I11+I33=-1,955+3,559=1,604 А
I6=-I33-Iк1=-3,559--4=0,441 А
При нахождении истинных токов, если первоначально выбранное направление тока совпадает с направлением контурного тока, то контурный ток входит в уравнение со знаком "плюс", иначе – со знаком "минус".
2 . Рассчитать все токи в ветвях методом узловых потенциалов, приняв потенциал четвертого узла, равным нулю.
При расчёте схемы методом узловых потенциалов, источники тока можно не преобразовывать в эквивалентные источники напряжения.
Все узлы произвольно нумеруем, потенциал четвертого узла принимаем равным нулю.
Для составления матрицы узловых проводимостей, сначала вычислим узловые проводимости и токи, а также взаимные проводимости.
Y11=1R4+1R5+1R6=130+140+120=0,108 См
Y22=1R1+1R3+1R4=150+110+130=0,153 См
Y33=1R2+1R3+1R5=130+110+140=0,158 См
Y12=Y21=-1R4=-130=-0,033 См
Y13=Y31=-1R5=-140=-0,025 См
Y23=Y32=-1R3=-110=-0,1 См
Узловые проводимости равные сумме всех проводимостей, подключенных к узлу, берутся всегда со знаком "плюс", а взаимные проводимости равные сумме всех проводимостей подключенных между узлами – со знаком "минус".
Узловые токи берутся со знаком "плюс", если ток или эдс направлены в узел и – со знаком "минус", если направлены от узла, они равны:
Iс1=Iк1=-4 А
Iс2=E1R1=12050=2,4 А
Iс3=E2R2=12030=4 А
Решаем систему уравнений по методу Крамера:
Δ=Y11Y12Y13Y21Y22Y23Y31Y32Y33=0,108-0,033-0,025-0,0330,153-0,1-0,025-0,10,158=0,00111
Δ1=Iс1Y12Y13Iс2Y22Y23Iс3Y32Y33=-4-0,033-0,0252,40,153-0,14-0,10,158=-0,00978
Δ2=Y11Iс1Y13Y21Iс2Y23Y31Iс3Y33=0,108-4-0,025-0,0332,4-0,1-0,02540,158=0,05522
Δ3=Y11Y12Iс1Y21Y22Iс2Y31Y32Iс3=0,108-0,033-4-0,0330,1532,4-0,025-0,14=0,06133
φ1=Δ1Δ=-0,009780,00111=-8,822 В
φ2=Δ2Δ=0,055220,00111=49,825 В
φ3=Δ3Δ=0,061330,00111=55,338 В
Определяем истинные токи, воспользовавшись законом Ома для участка цепи:
I1=φ4-φ2+E1R1=0-49,825+12050=1,404 А
I2=φ4-φ3+E2R2=0-55,338+12030=2,155 А
I3=φ3-φ2R3=55,338-49,82510=0,551 А
I4=φ2-φ1R4=49,825--8,82230=1,955 А
I5=φ3-φ1R5=55,338--8,82240=1,604 А
I6=φ4-φ1R6=0--8,82220=0,441 А
При расчёте двумя методами получили одинаковые токи, что говорит о правильности расчёта.
3