Дискретный случайный вектор. Для заданных случайных величин X и Y

Построить таблицу совместного распределения
Случайная величина X – максимальная цифра, выпавшая на костях – имеет следующие возможные значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Случайная величина Y – сумма очков на обеих костях - имеет следующие возможные значения 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Найдем вероятности
p11=PX=1, Y=2=16∙16=136
p12=PX=1, Y=3=0
p13=PX=1, Y=4=0
p14=PX=1, Y=5=0
p15=PX=1, Y=6=0
p16=PX=1, Y=7=0
p17=PX=1, Y=8=0
p18=PX=1, Y=9=0
p19=PX=1, Y=10=0
p110=PX=1, Y=11=0
p111=PX=1, Y=12=0
p21=PX=2, Y=2=0
p22=PX=2, Y=3=16∙16+16∙16=236=118
p23=PX=2, Y=4=16∙16=136
p24=PX=2, Y=5=0
p25=PX=2, Y=6=0
p26=PX=2, Y=7=0
p27=PX=2, Y=8=0
p28=PX=2, Y=9=0
p29=PX=2, Y=10=0
p210=PX=2, Y=11=0
p211=PX=2, Y=12=0
p31=PX=3, Y=2=0
p32=PX=3, Y=3=0
p33=PX=3, Y=4=16∙16+16∙16=236=118
p34=PX=3, Y=5=16∙16+16∙16=236=118
p35=PX=3, Y=6=16∙16=136
p36=PX=3, Y=7=0
p37=PX=3, Y=8=0
p38=PX=3, Y=9=0
p39=PX=3, Y=10=0
p310=PX=3, Y=11=0; p311=PX=3, Y=12=0
p41=PX=4, Y=2=0; p42=PX=4, Y=3=0; p43=PX=4, Y=4=0
p44=PX=4, Y=5=16∙16+16∙16=236=118
p45=PX=4, Y=6=16∙16+16∙16=236=118
p46=PX=4, Y=7=16∙16+16∙16=236=118
p47=PX=4, Y=8=16∙16=136
p48=PX=4, Y=9=0; p49=PX=4, Y=10=0
p410=PX=4, Y=11=0; p411=PX=4, Y=12=0
p51=PX=5, Y=2=0; p52=PX=5, Y=3=0
p53=PX=5, Y=4=0; p54=PX=5, Y=5=0
p55=PX=5, Y=6=16∙16+16∙16=236=118
p56=PX=5, Y=7=16∙16+16∙16=236=118
p57=PX=5, Y=8=16∙16+16∙16=236=118
p58=PX=5, Y=9=16∙16+16∙16=236=118
p59=PX=5, Y=10=16∙16=136
p510=PX=5, Y=11=0; p511=PX=5, Y=12=0
p61=PX=6, Y=2=0; p62=PX=6, Y=3=0; p63=PX=6, Y=4=0
p64=PX=6, Y=5=0; p65=PX=6, Y=6=0
p66=PX=6, Y=7=16∙16+16∙16=236=118
p67=PX=6, Y=8=16∙16+16∙16=236=118
p68=PX=6, Y=9=16∙16+16∙16=236=118
p69=PX=6, Y=10=16∙16+16∙16=236=118
p610=PX=6, Y=11=16∙16+16∙16=236=118
p611=PX=6, Y=12=16∙16=136
Таблица совместного распределения имеет вид
Y
X
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 136
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2 0 118
136
0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 118
118
136
0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 118
118
118
136
0 0 0 0
5 0 0 0 0 118
118
118
118
136
0 0
6 0 0 0 0 0 118
118
118
118
118
136
найти частные распределения для X и Y и вычислить для каждого из них математическое ожидание и дисперсию
Найдем частный ряд распределения для величины Y.
Определим вероятности случайной величины Y при любом значении величины X
p.1=PY=2∀X=PY=2=i=16pi1=136+0+0+0+0+0=136
p.2=PY=3∀X=PY=3=i=16pi2=0+118+0+0+0+0=118
p.3=PY=4∀X=PY=4=i=16pi3=0+136+118+0+0+0=336=112
p.4=PY=5∀X=PY=5=i=16pi4=0+0+118+118+0+0=218=19
p.5=PY=6∀X=PY=6=i=16pi5=0+0+136+118+118+0=536
p.6=PY=7∀X=PY=7=i=16pi6=0+0+0+118+118+118=318=16
p.7=PY=8∀X=PY=8=i=16pi7=0+0+0+136+118+118=536
p.8=PY=9∀X=PY=9=i=16pi8=0+0+0+0+118+118=218=19
p.9=PY=10∀X=PY=10=i=16pi9=0+0+0+0+136+118=336=112
p.10=PY=11∀X=PY=11=i=16pi10=0+0+0+0+0+118=118
p.11=PY=12∀X=PY=12=i=16pi11=0+0+0+0+0+136=136
Частный ряд распределения для величины Y имеет вид
Y
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
pj
136
118
112
19
536
16
536
19
112
118
136
Математическое ожидание Y
my=MY=yjpj=2∙136+3∙118+4∙112+5∙19+6∙536+7∙16+8∙536+9∙19+10∙112+11∙118+12∙136=118+16+13+59+56+76+109+1+56+1118+13=1+3+6+10+15+21+20+18+15+11+618=12618=7
Дисперсия Y
DY=MY2-my2=yj2pj-my2=22∙136+32∙118+42∙112+52∙19+62∙536+72∙16+82∙536+92∙19+102∙112+112∙118+122∙136-72=19+12+43+259+5+496+809+9+253+12118+4-49=2+9+24+50+90+147+160+162+150+121+72-88218=10518=356≈5,8333
Найдем частный ряд распределения для величины X.
Определим вероятности случайной величины X при любом значении величины Y
p1.=PX=1∀Y=PX=1=j=111p1j=136+0+0+0+0+0+0+0+0+0+0=136
p2.=PX=2∀Y=PX=2=j=111p2j=0+118+136+0+0+0+0+0+0+0+0=336=112
p3.=PX=3∀Y=PX=3=j=111p3j=0+0+118+118+136+0+0+0+0+0+0=536
p4.=PX=4∀Y=PX=4=j=111p4j=0+0+0+118+118+118+136+0+0+0+0=736
p5.=PX=5∀Y=PX=5=j=111p5j=0+0+0+0+118+118+118+118+136+0+0=936=14
p6.=PX=6∀Y=PX=6=j=111p6j=0+0+0+0+0+118+118+118+118+118+136=1136
Частный ряд распределения для величины X имеет вид
X
1 2 3 4 5 6
pi
136
112
536
736
14
1136
Математическое ожидание X
mx=MX=xipi=1∙136+2∙112+3∙536+4∙736+5∙14+6∙1136=136+16+512+79+54+116=1+6+15+28+45+6636=16136≈4,4722
Дисперсия X
DX=MX2-mx2=xi2pi-mx2=12∙136+22∙112+32∙536+42∙736+52∙14+62∙1136-161362=136+13+54+289+254+11-161362=1+12+45+112+225+39636-259211296=79136-259211296=25551296≈1,9715
найти коэффициент корреляции
Коэффициент корреляции
ρxy=CovX, Yσxσy=mxy-mxmyDXDY
Найдем
mxy=MXY=xiyjpij=1∙2∙136+2∙3∙118+2∙4∙136+3∙4∙118+3∙5∙118+3∙6∙136+4∙5∙118+4∙6∙118+4∙7∙118+4∙8∙136+5∙6∙118+5∙7∙118+5∙8∙118+5∙9∙118+5∙10∙136+6∙7∙118+6∙8∙118+6∙9∙118+6∙10∙118+6∙11∙118+6∙12∙136=118+13+29+23+56+12+109+43+149+89+53+3518+209+52+2518+73+83+3+103+113+2=6118+483+549+56+62+5=61+288+108+15+54+9018=61618=3089
Коэффициент корреляции
ρxy=mxy-mxmyDXDY=3089-16136∙725551296∙356=10536∙36689425=105∙689425≈0,8601
определить, зависимы или независимы случайные величины X и Y
Проверим условие независимости для дискретных случайных величин
pij=pi.∙p.j=PX=xi∀Y∙PY=yj∀X, ∀i,j
p11=136≠PX=1∀Y∙PY=2∀X=136∙136=11296