Задача замены оборудования
Условия. Известны характеристики станка, зависящие от его возраста t на начало года:
r(t) – стоимость продукции, производимой за год;
u(t) – годовые эксплуатационные затраты;
s(t) – остаточная стоимость (выручка от продажи станка).
На начало планового периода в N лет станок имеет возраст t=t0. В начале любого года станок можно не заменять (сохранить) или продать и купить такой же новый по цене P (включая установку и пр.). Продолжительность замены много меньше года.
Необходимо методом ДП разработать оптимальную политику замены станка для N=10 и t0=0…6. Исходные данные приведены в табл. 1 и 2 (рассматривается замена одного станка). Показать все шаги решения согласно процедуре динамического программирования. Результаты представить в виде таблицы, в клетках которой должны быть оптимальные значения критерия и переменной (заголовки столбцов – возраст от 0 до 9, заголовки строк – номера шагов). Понять, как из итоговой таблицы получать решение для конкретных значений t0 и N.
Таблица 1
Тип станка Характе-ристики
t
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
B r(t) 25 24 23 21 20 20 19 19 18 17 17
u(t) 9 10 10 11 12 13 13 14 15 16 17
Таблица 2
Вариант 31
Тип станка B
P 16
S 6
Решение
В начале каждого года имеется две возможности: сохранить оборудование и получить прибыль rt-u(t) или заменить его и получить прибыль st-P+r0-u0.
Прибыль от использования оборудования в последнем N-м году планового периода запишется в следующем виде:
FNt=maxrt-u(t)- сохранениеst-P+r0-u(0)-замена
А прибыль от использования оборудования в период с n-го по N-й год –
Fnt=maxrt-ut+Fn+1(t+1)- сохранениеst-P+r0-u0+Fn+1(1)-замена
где Fn+1t+1- прибыль от использования оборудования в период с n+1-го по N-й год.
В случае, если оба управления («сохранение» и «замена») приводят к одной и той же прибыли, то целесообразно выбрать управление «сохранение».
Условная оптимизация
1 шаг. n=N=10. Начнем процедуру условной оптимизации с последнего, десятого года планового периода. Для этого шага состояние системы: t=0,1,2,…,9,10. Функциональное управление
F10t=maxrt-u(t) 6-16+25-9 =maxrt-u(t)- сохранение6-замена
с учетом данных получаем
F100=maxr0-u(0)6=max25-96=max166=16 (сохранение)
F101=maxr1-u(1)6=max24-106=max146=14 (сохранение)
F102=maxr2-u(2)6=max23-106=max136=13 (сохранение)
F103=maxr3-u(3)6=max21-116=max106=10 (сохранение)
F104=maxr4-u(4)6=max20-126=max86=8 (сохранение)
F105=maxr5-u(5)6=max20-136=max76=7 (сохранение)
F106=maxr6-u(6)6=max19-136=max66=6 (сохранение)
F107=maxr7-u(7)6=max19-146=max56=6 (замена)
F108=maxr8-u(8)6=max18-156=max36=6 (замена)
F109=maxr9-u(9)6=max17-166=max16=6 (замена)
F107=maxr10-u(10)6=max17-176=max06=6 (замена)
2 шаг. n=9. Проанализируем девятый год планового периода. Для этого шага состояние системы: t=0,1,2,…,9,10. Функциональное управление
F9t=maxrt-ut+F10(t+1) 6-16+25-9+F10(1) =maxrt-ut+F10(t+1)- сохранение6+F10(1)-замена
тогда
F90=maxr0-u0+F10(1)6+F10(1)=max25-9+146+14=max3020=30 (сохранение)
F91=maxr1-u1+F10(2)6+F10(1)=max24-10+136+14=max2720=27 (сохранение)
F92=maxr2-u2+F10(3)6+F10(1)=max23-10+106+14=max2320=23 (сохранение)
F93=maxr3-u3+F10(4)6+F10(1)=max21-11+86+14=max1820=20 (замена)
F94=maxr4-u4+F10(5)6+F10(1)=max20-12+76+14=max1520=20 (замена)
F95=maxr5-u5+F10(6)6+F10(1)=max20-13+66+14=max1320=20 (замена)
F96=F97=F98=F99=F910=20
3 шаг. n=8. Проанализируем восьмой год планового периода. Для этого шага состояние системы: t=0,1,2,…,9,10. Функциональное управление
F8t=maxrt-ut+F9(t+1) 6-16+25-9+F9(1) =maxrt-ut+F9(t+1)- сохранение6+F9(1)-замена
тогда
F80=maxr0-u0+F9(1)6+F9(1)=max25-9+276+27=max4333=43 (сохранение)
F81=maxr1-u1+F9(2)6+F9(1)=max24-10+236+27=max3733=37 (сохранение)
F82=maxr2-u2+F9(3)6+F9(1)=max23-10+206+27=max3333=33 (сохранение)
F83=maxr3-u3+F9(4)6+F9(1)=max21-11+206+27=max3033=33 (замена)
F84=maxr4-u4+F9(5)6+F9(1)=max20-12+206+27=max2833=33 (замена)
F85=maxr5-u5+F9(6)6+F9(1)=max20-13+206+27=max2733=33 (замена)
F86=F87=F88=F89=F810=33
4 шаг
. n=7. Проанализируем седьмой год планового периода. Для этого шага состояние системы: t=0,1,2,…,9,10. Функциональное управление
F7t=maxrt-ut+F8(t+1) 6-16+25-9+F8(1) =maxrt-ut+F8(t+1)- сохранение6+F8(1)-замена
тогда
F70=maxr0-u0+F8(1)6+F8(1)=max25-9+376+37=max5343=53 (сохранение)
F71=maxr1-u1+F8(2)6+F8(1)=max24-10+336+37=max4743=47 (сохранение)
F72=maxr2-u2+F8(3)6+F8(1)=max23-10+336+37=max4643=43 (сохранение)
F73=maxr3-u3+F8(4)6+F8(1)=max21-11+336+37=max4343=43 (сохранение)
F74=maxr4-u4+F8(5)6+F8(1)=max20-12+336+37=max3143=43 (замена)
F75=maxr5-u5+F8(6)6+F8(1)=max20-13+336+37=max4043=43 (замена)
F76=F77=F78=F79=F710=43
5 шаг. n=6. Проанализируем шестой год планового периода. Для этого шага состояние системы: t=0,1,2,…,9,10. Функциональное управление
F6t=maxrt-ut+F7(t+1) 6-16+25-9+F7(1) =maxrt-ut+F7(t+1)- сохранение6+F7(1)-замена
тогда
F60=maxr0-u0+F7(1)6+F7(1)=max25-9+476+47=max6353=63 (сохранение)
F61=maxr1-u1+F7(2)6+F7(1)=max24-10+466+47=max6053=60 (сохранение)
F62=maxr2-u2+F7(3)6+F7(1)=max23-10+436+47=max5653=56 (сохранение)
F63=maxr3-u3+F7(4)6+F7(1)=max21-11+436+47=max5353=53 (сохранение)
F64=maxr4-u4+F7(5)6+F7(1)=max20-12+436+47=max5153=53 (замена)
F65=maxr5-u5+F7(6)6+F7(1)=max20-13+436+47=max5053=53 (замена)
F66=F67=F68=F69=F610=53
6 шаг. n=5. Проанализируем пятый год планового периода. Для этого шага состояние системы: t=0,1,2,…,9,10. Функциональное управление
F5t=maxrt-ut+F6(t+1) 6-16+25-9+F6(1) =maxrt-ut+F6(t+1)- сохранение6+F6(1)-замена
тогда
F50=maxr0-u0+F6(1)6+F6(1)=max25-9+606+60=max7666=76 (сохранение)
F51=maxr1-u1+F6(2)6+F6(1)=max24-10+566+60=max7066=70 (сохранение)
F52=maxr2-u2+F6(3)6+F6(1)=max23-10+536+60=max6666=66 (сохранение)
F53=maxr3-u3+F6(4)6+F6(1)=max21-11+536+60=max6366=66 (замена)
F54=maxr4-u4+F6(5)6+F6(1)=max20-12+536+60=max6166=66 (замена)
F55=maxr5-u5+F6(6)6+F6(1)=max20-13+536+60=max6066=66 (замена)
F56=F57=F58=F59=F510=66
7 шаг. n=4. Проанализируем четвертый год планового периода. Для этого шага состояние системы: t=0,1,2,…,9,10. Функциональное управление
F4t=maxrt-ut+F5(t+1) 6-16+25-9+F5(1) =maxrt-ut+F5(t+1)- сохранение6+F5(1)-замена
тогда
F40=maxr0-u0+F5(1)6+F5(1)=max25-9+706+70=max8676=86 (сохранение)
F41=maxr1-u1+F5(2)6+F5(1)=max24-10+666+70=max8076=80 (сохранение)
F42=maxr2-u2+F5(3)6+F5(1)=max23-10+666+70=max7976=79 (сохранение)
F43=maxr3-u3+F5(4)6+F5(1)=max21-11+666+70=max7676=76 (сохранение)
F44=maxr4-u4+F5(5)6+F5(1)=max20-12+666+70=max7476=76 (замена)
F45=maxr5-u5+F5(6)6+F5(1)=max20-13+666+70=max7376=76 (замена)
F46=F47=F48=F49=F410=76
8 шаг. n=3. Проанализируем третий год планового периода. Для этого шага состояние системы: t=0,1,2,…,9,10
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
