Динамическое исследование движения механической системы

Колесо 1 совершает плоско-параллельное движение. Одну из осей координат направим вниз по наклонной плоскости (в сторону движения центра колеса). Дифференциальные уравнения движения имеют вид:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
Колеса 2 и 3 совершают вращательное движение. Дифференциальные уравнения движения имеют вид:
(1.4)
(1.5)
Колесо 4 совершает плоско-параллельное движение. Одну из осей координат направим вертикально вверх (в сторону движения центра колеса). Дифференциальные уравнения движения имеют вид:
(1.6)
(1.7)
2
3
4
К
м.ц.с
Р
В
С
м.ц.с
α
1
А
M
Рис.2
Приведенную систему уравнений дополним кинематическими соотношениями:
Тогда положение мгновенного центра скоростей колеса 4:
И
Тогда
И
Поскольку масса троса не учитывается, то
;;;;
Умножим уравнение (1.1) на и сложим с уравнением (1.3):
Учитывая, что и ; m1 =4m ; получаем:
(1.8)
Из уравнения (1.4), учитывая, что
;
и
(1.9)
Тогда уравнение (1.8) можно записать в виде:
Или
(1.10)
Из уравнения (1.5) учитывая, что
;
и :
Так как ;, то
(1.11)
Из уравнения (1.6) , учитывая, что получаем:
(1.12)
Тогда (1.7) можно записать в виде
С учетом, что и , получим:
(1.13)
Тогда (1.12) примет вид:
(1.14)
И (1.11) с учетом (1.13) и (1.14) примет вид:
(1.15)
И уравнение (1.10) примет вид:
или
дифференциальное уравнение движения системы
(1.16)
2 . Используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме.
(2.1)
Найдем кинетическую энергию системы.
Величина равна сумме кинетических энергий всех тел системы: .
Для определения кинетической энергии системы изобразим механизм в положении, когда груз 1 пройдет расстояние S (рис. 3)
2
3
4
Р
В
С
м.ц.с
К
м.ц.с
α
1
А
M
Рис.3
Учитываем:
1) Колеса 2 и 3 вращаются вокруг неподвижной оси
;
их моменты инерции:
;
т.е.
;
2) Колеса 1 и 4, движутся плоскопараллельно:
,
,
так как колеса однородные, их моменты инерции
Так как
;;; ; ;
Получаем
;
,
Тогда кинетическая энергия механической системы:
(2.2)
Для данной системы, состоящей из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,
Найдем суммарную мощность всех действующих внешних сил