Динамическая задача распределения инвестиций. Для модернизации четырех предприятий производственного объединения с целью наращивания производственных мощностей и увеличения прироста годовой прибыли совет директоров инвестирует в них средства в объеме 700 млн. руб. с дискретностью 100 млн. руб. Прирост годовой прибыли зависит от выделенной суммы, его значения предоставлены предприятиями. Если j-е предприятие получает инвестиции в объеме ξ млн. руб., то прирост годовой прибыли на этом предприятии составит f j (ξ) млн. руб. в год (j = 1, 2, 3, 4). Значения функций f j (ξ) известны и для каждого варианта компактно записаны в Приложении 3 в следующем виде:
f1(0) f1(100) f1(200) f1(300) f1(400) f1(500) f1(600) f1(700)
f2(0) f2(100) f2(200) f2(300) f2(400) f2(500) f2(600) f2(700)
f3(0) f3(100) f3(200) f3(300) f3(400) f3(500) f3(600) f3(700)
f4(0) f4(100) f4(200) f4(300) f4(400) f4(500) f4(600) f4(700)
0 5 10 14 17 19 21 22
0 8 13 18 21 23 21 17
0 10 16 21 24 27 29 30
0 11 19 26 30 33 35 36
Найти такое распределение инвестиций между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост прибыли на всех предприятиях вместе, причем в одно предприятие можно осуществить только одну инвестицию. Для этого необходимо составить математическую модель динамической задачи распределения инвестиций и решить ее методом динамического программирования, обосновывая каждый шаг вычислительного процесса.
Решение
Требуется найти такое распределение (х1, х2, х3, х4) капитальных вложений между четырьмя предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли:
Z = f1(x1) + f2(x2) + f3(x3) + f4(x4) → max
при ограничении по общей сумме капитальных вложений
х1 + х2 + х3 + х4 = 700
причем будем считать, что все переменные принимают только целые неотрицательные значения, кратные 100:
х1, х2, х3, х4 = 0, или 100, или 200, или 300, или 400, или 500, или 600, или 700
где xi – пока еще неизвестный размер инвестиций i-й фирме.
I этап. Условная оптимизация.1-ый шаг. k = 4.Предположим, что все средства в количестве x4 = 700 отданы предприятию №4. В этом случае, максимальный доход, как это видно из таблицы, составит f4(u4) = 36, следовательно, F4(e4) = f4(u4)
e3
u4
e4=e3-u4
f4(u4)
F4*(u4)
u4(e4)
100 0 100 0
100 0 11 11 100
200 0 200 0
100 100 11
200 0 19 19 200
300 0 300 0
100 200 11
200 100 19
300 0 26 26 300
400 0 400 0
100 300 11
200 200 19
300 100 26
400 0 30 30 400
500 0 500 0
100 400 11
200 300 19
300 200 26
400 100 30
500 0 33 33 500
600 0 600 0
100 500 11
200 400 19
300 300 26
400 200 30
500 100 33
600 0 35 35 600
700 0 700 0
100 600 11
200 500 19
300 400 26
400 300 30
500 200 33
600 100 35
700 0 36 36 700
2-ый шаг. k = 3.Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между предприятиями №3, 4
. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид: F3(e3) = max(x3 ≤ e3)(f3(u3) + F4(e3-u3))
e2
u3
e3=e2-u3
f3(u3)
F3*(e2)
F2(u3,e2)
F3*(e3)
u3(e3)
100 0 100 0 11 11 11 0
100 0 10 0 10
200 0 200 0 19 19
100 100 10 11 21 21 100
200 0 16 0 16
300 0 300 0 26 26
100 200 10 19 29 29 100
200 100 16 11 27
300 0 21 0 21
400 0 400 0 30 30
100 300 10 26 36 36 100
200 200 16 19 35
300 100 21 11 32
400 0 24 0 24
500 0 500 0 33 33
100 400 10 30 40
200 300 16 26 42 42 200
300 200 21 19 40
400 100 24 11 35
500 0 27 0 27
600 0 600 0 35 35
100 500 10 33 43
200 400 16 30 46
300 300 21 26 47 47 300
400 200 24 19 43
500 100 27 11 38
600 0 29 0 29
700 0 700 0 36 36
100 600 10 35 45
200 500 16 33 49
300 400 21 30 51 51 300
400 300 24 26 50
500 200 27 19 46
600 100 29 11 40
700 0 30 0 30
3-ый шаг. k = 2.Определяем оптимальную стратегию при распределении денежных средств между предприятиями №2, 3, 4. При этом рекуррентное соотношение Беллмана имеет вид: F2(e2) = max(x2 ≤ e2)(f2(u2) + F3(e2-u2))
e1
u2
e2=e1-u2
f2(u2)
F2*(e1)
F1(u2,e1)
F2*(e2)
u2(e2)
100 0 100 0 11 11 11 0
100 0 8 0 8
200 0 200 0 21 21 21
100 100 8 11 19
200 0 13 0 13
300 0 300 0 29 29 29 0
100 200 8 21 29
200 100 13 11 24
300 0 18 0 18
400 0 400 0 36 36
100 300 8 29 37 37 100
200 200 13 21 34
300 100 18 11 29
400 0 21 0 21
500 0 500 0 42 42
100 400 8 36 44 44 100
200 300 13 29 42
300 200 18 21 39
400 100 21 11 32
500 0 23 0 23
600 0 600 0 47 47
100 500 8 42 50 50 100
200 400 13 36 49
300 300 18 29 47
400 200 21 21 42
500 100 23 11 34
600 0 21 0 21
700 0 700 0 51 51
100 600 8 47 55 55 100
200 500 13 42 55
300 400 18 36 54
400 300 21 29 50
500 200 23 21 44
600 100 21 11 32
700 0 17 0 17
4-ый шаг
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
