Дифференциальные уравнения y'''+3y''+9y'-13y=0

Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения составим характеристическое уравнение λ3+3λ2+9λ-13=0 и определим его корни .
Легко видеть, что одним из корней является число λ=1. Тогда, выделяя множитель (λ−1), получаем
λ3+3λ2+9λ-13=0=>λ-1λ2+4λ+13=0
Найдем корни квадратного уравнения:
λ2+4λ+13=0,=>D=16-52=-36,=>λ2,3=-4±6i2=-2±3i.
Итак, характеристическое уравнение имеет три различных корня, два из которых комплексные:
λ1=1, λ2,3=-2±3i.
Общее решение дифференциального уравнения представляется в виде
yx=C1ex+C2e-2xsin3x+C3e-2x cos3x