Дифференциальное и интегральное исчисление

M=3;n=1;y=x-33x-32-1
Область определения
Функция определена всюду, кроме тех точек, в которых знаменатель обращается в нуль
x-32-1=0=>x2-6x+9-1=0=>x2-6x+8=0=>
=>x=2;x=4
x2-6x+8=0D=36-4∙8=4x=6±42=6±22=3±1x=2;x=4
Dy=-∞;2∪2;4∪4;+∞
Точки пересечения с осями координат
y=0, x-33x-32-1=0=>x-33=>x-3=0=>x=3
A3;0- точка пересечения с осью Ox
x=0, 0-330-32-1=-278≈-3,38
B0;-278- точка пересечения с осью Oy
Четность, нечетность
y-x=-x-33-x-32-1≠yx≠-yx
Следовательно, функция не является ни четной, ни нечетной. Функция общего вида.
Вертикальные асимптоты
Функция определена всюду, кроме x=2;x=4
lim x→2-0x-33x-32-1=2-0-332-0-32-1=-1+0=-∞;
lim x→2+0x-33x-32-1=2+0-332+0-32-1=-1-0=+∞
x=2- вертикальная асимптота
lim x→4-0x-33x-32-1=4-0-334-0-32-1=1-0=-∞;
lim x→4+0x-33x-32-1=4+0-334+0-32-1=1+0=+∞
x=4- вертикальная асимптота
Наклонные асимптоты .
y=kx+b
k=limx→±∞fxx=limx→±∞x-33x-32-1x=limx→±∞x-33xx2-6x+8=
=limx→±∞x3-9x2+27x-27x3-6x2+8x=limx→±∞x3/x3-9x2/x3+27x/x3-27/x3x3/x3-6x2/x3+8x/x3=
=limx→±∞1-9/x+27/x2-27/x31-6/x+8/x2=1;
b=limx→±∞fx-kx=limx→±∞x-33x-32-1-x=
=limx→±∞x-33-xx-32-1x-32-1=
=limx→±∞x3-9x2+27x-27-x3+6x2-8xx2-6x+8=
=limx→±∞-3x2+19x-27x2-6x+8=limx→±∞-3x2/x2+19x/x2-27/x2x2/x2-6x/x2+8/x2=
=limx→±∞-3+19/x-27/x21-6/x+8/x2=-3;
y=x-3- наклонная асимптота
Точки экстремума, интервалы возрастания, убывания
Вычислим
y'=x-33x-32-1'=
=x-33'x-32-1-x-33x-32-1'x-32-12=
=3x-32x-32-1-x-33∙2x-3x-32-12=
=x-323x-32-1-2x-32x-32-12=
=x-323x-32-3-2x-32x-32-12=x-32x-32-3x-32-12=
=x-32x2-6x+6x2-6x+82=0=>x-32x2-6x+6=0x2-6x+82≠0=>
=>x=3;x=3-3;x=3+3x≠2;x≠4=>
=>x=3;x=3-3;x=3+3- критические точки
y3-3=3-3-333-3-32-1=-33-32-1=-332≈-2,6;
y3+3=3+3-333+3-32-1=3332-1=332≈2,6
x2-6x+6=0D=36-4∙6=12x=6±122=6±4∙32=6±232=3±3x=3-3≈1,27;x=3+3≈4,73
x
-∞;3-3
3-3
3-3;2
2
2;3
3
y'
+
0
-
не сущ.
-
0
y
↗
-332
↘
не сущ.
↘
0
x
3;4
4
4;3+3
3+3
3+3;+∞
y'
-
не сущ.
-
0
+
y
↘
не сущ.
↘
332
↗
При переходе через критическую точку x=3-3 производная меняет знак c плюса на минус