Даны вершины треугольной пирамиды S3 2 5

1) Найдем координаты векторов:
BS=3--2;2-4;5--2=5;-2;7;
BC=-2--2;-3-4;-5--2=0;-7;-3;
Косинус угла между ребрами BS и BC равен:
cos<B=BS,BCBS∙BC=5;-2;7∙0;-7;-352+-22+72∙02+-72+-32=
=5∙0+-2∙-7+7∙-325+4+49∙0+49+9=0+14-2178∙58=-721131;
Угол между ребрами BS и BC:
<B=arccos-721131≈96°;
2) площадь грани ABC равна:
SABC=12∙AB×AC;
Найдем координаты векторов:
AB=-2-4;4--2;-2--3=-6;6;1;
AC=-2-4;-3--2;-5--3=-6;-1:-2;
Векторное произведение векторов AB и AC:
AB×AC=iш1кторное произведение jk-661-6-1-2=iш1кторное произведение ∙6∙-2-1∙-1-
-j∙-6∙-2-1∙-6+k∙-6∙-1-6∙-6=
=-11iш1кторное произведение -18j+42k=-11;-18;42;
SABC=12∙AB×AC=12∙-112+-182+422=
=12∙121+324+1764=12∙2209=472.
3) объем пирамиды SABC:
V=16∙AB∙AC∙AS;
Найдем координаты вектора:
AS=3-4;2--2;5--3=-1;4;8;
Найдем смешанное произведение векторов AB,AC,AS:
AB∙AC∙AS=-661-6-1-2-148=-6∙-1∙8--2∙4-
-6∙-6∙8--2∙-1+1∙-6∙4--1∙-1=
=-6∙0-6∙-50+1∙-25=0+300-25=275;
Тогда объем пирамиды SABC равен:
V=16∙AB∙AC∙AS=16∙2751=2756.
4) Объем пирамиды SABC равен:
V=13∙SD∙SABC;
где SD- высота, опущенная из вершины S на грань ABC;
Тогда длина высоты, опущенной из вершины S на грань ABC:
SD=3∙VSABC=3∙2756472=27547.
5) Найдем уравнение грани ABC:
x-xAy-yAz-zAxB-xAyB-yAzB-zAxC-xAyC-yAzC-zA=0;
x-4y--2z--3-661-6-1-2=0;
x-4∙6∙-2-1∙-1-y+2∙-6∙-2-1∙-6
+z+3∙-6∙-1-6∙-6=0;
x-4∙-11-y+2∙18+z+3∙42=0;
-11x+44-18y-36+42z+126=0;
11x+18y-42z-134=0.
Найдем координаты вектора:
SC=-2-3;4-2;-2-5=-5;2;-7;
Cинус угла между ребром SC и гранью ABC равен:
sinα=nABC,SCnABC∙SC=11;18;-42∙-5;2;-747∙-52+22+-72=
=11∙-5+18∙2+-42∙-747∙25+4+49=-55+36+29447∙78=27547∙78;
Угол между ребром SC и гранью ABC:
α=arcsin27547∙78≈41,5°;
6) Нормальный вектор грани ABC nABC=11;18;-42 будет равен направляющему вектору высоты, опущенной из вершины S на грань ABC.
Тогда уравнение высоты, опущенной из вершины S на грань ABC:
x-xSSx=y-ySSy=z-zSSz;
x-311=y-218=z-5-42.