Даны вершины треугольника A(2;-5), B(-7;7), C(-6;-11). Найти:
а) длину сторон AB и AC;
б) внутренний угол при вершине A;
в) уравнение стороны BC;
г) уравнение высоты AH;
д) уравнение медианы CM;
е) систему неравенств, определяющих треугольник
Решение
А) Найдём координаты векторов AB и AC:
AB-7-2;7--5=(-9;12)
AC-6-2;-11--5=(-8;-6)
Тогда длины данных векторов равны:
AB=-92+122=81+144=225=15
AC=-82+-62=64+36=100=10
б) Найдём угол A как угол между прямыми векторами AB и AC, получим:
cosφ=-9*-8+12*(-6)15*10=72-72150=0
φ=arccos0=90°
в) Найдём уравнение стороны BC как уравнение прямой, проходящей через две точки. Каноническое уравнение выглядит так:
x+7-6-(-7)=y-7-11-7
x+71=y-7-18
Общее уравнение прямой найдём, выразив y, получим:
y=-18x-119 или y+18x+119=0
г) Сначала решим первым способом:
Прямая AH – высота, поэтому она перпендикулярна прямой BС, уравнение прямой BC мы нашли ранее, оно выглядит так:
Ax+By+C=0
y+18x+119=0
Она имеет направляющий вектор (A;B), в данном случае он выглядит так:
(18;1)
Прямая, проходящая через точку A и перпендикулярная прямой y+18x+119, представляется следующим уравнением:
x-x0A=y-y0B
Поэтому каноническое уравнение высоты AH выглядит так:
x-218=y+51
Выражаем из данного уравнение y, получаем:
x-2=18(y+5)
18y+90=x-2
18y=x-2-90
18y=x-92
y=118x-9218=118x-469
Далее второй способ.
Так как высота АН перпендикулярна стороне ВС, то ее угловой коэффициент найдём из условия перпендикулярности прямых:
kAH=-1kBC=-1-18=118
Далее составляем уравнение высоты:
y-yA=kAH*(x-xA)
y+5=118*(x-2)
y+5=118x-19
y=118x-19-5=118x-469
д) Обозначим середину стороны AB точкой M, найдём координаты данной точки как координаты точки, делящей отрезок пополам, получим:
xM=2-72=-52
yM=-5+72=22=1
Уравнение медианы CM найдём как уравнение прямой, проходящей через две точки C и M:
x+6-52-(-6)=y+111-(-11)
x+672=y+1112
Общее уравнение прямой найдём, выразив y, получим:
72*y+11=12(x+6)
72y+772=12x+72
72y=12x+72-772
72y=12x+672
y=247x+677
е) Найдём уравнение сторон AB и AC, получим:
AB:x-2-7-2=y+57-(-5)
AB:x-2-9=y+512
Или общее уравнение:
-9*y+5=12(x-2)
-9y-45=12x-24
-9y=12x-24+45
-9y=12x+21
Здесь два варианта:
Первый:
y=-129x-219=-43x-73
y=-43x-73
Второй:
-9y=12x+21
Делим на -3 обе части:
3y=-4x-7
3y+4x+7=0
AC:x-2-6-2=y+5-11-(-5)
AC:x-2-8=y+5-6
Или общее уравнение:
-6*x-2=-8*(y+5)
-8y-40=-6x+12
-8y=-6x+12+40
-8y=-6x+52
y=68x-528=34x-132
Или:
-8y=-6x+52
Делим на (-2) обе части:
4y=3x-26
4y-3x+26=0
Для стороны BC:
x+7-6-(-7)=y-7-11-7
x+71=y-7-18
-18*x+7=y-7
y-7=-18x-126
y=-18x-119 или y+18x+119=0
Общее уравнение прямой найдём, выразив y, получим:
y=-18x-119 или y+18x+119=0
Для определения знаков неравенств в левую часть каждого уравнения подставим координаты противоположной вершины, которая гарантированно принадлежит соответствующей полуплоскости:
Подставим C(-6;-11) в уравнение стороны AB, получим:
3y+4x+7=3*-11+4*-6+7=-33-24+7=-50<0
Подставим B(-7;7) в уравнение стороны AC, получим:
4y-3x+26=4*7-3*-7+26=28+21+26=75>0
Подставим A(2;-5) в уравнение стороны BC, получим
y+18x+119=-5+18*2+119=-5+36+119=150>0
Тогда система неравенств, определяющих треугольник, выглядит так:
3y+4x+7≤04y-3x+26≥0y+18x+119≥0
Задать вопрос
на новый заказ в Автор24.
