Даны вершины пирамиды A1A2A3A4. Найти длину ребра A1A2

Координаты векторов.
A1A2=7;6;3-2;4;3=5;2; 0
A1A3=4;9;3-2;4;3=2; 5; 0
A1A4=3;6;7-2;4;3=1; 2; 4
1) длину ребра A1A2
A1A2=52+22+02=29
2) угол между ребрами A1A2 и A1A4
Угол между векторами можно найти по формуле:
cosB=A1A2*A1A4A1A2*A1A4Найдем угол между ребрами A1A25;2; 0 и A1A41; 2; 4:
A1A4=12+22+42=21
cosα=5*1+2*2+0*429*21≈0.365
α=arccos0.365≈1.197
3) угол между ребром A1A4 и гранью A1A2A3
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле:
sinγ=Al+Bm+CnA2+B2+C2*l2+m2+n2
Если точки A1x1;y1;z1, A2x2;y2;z2, A3x3;y3;z3 не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:
x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0
Уравнение плоскости A1A2A3
x-2y-4z-3520250=0
x-2*2*0-5*0- y-4*5*0-2*0+ z-3*5*5-2*2= 21z-63=0
Уравнение плоскости A1A2A3: z-3=0
Уравнение прямой A1A4:
x-21=y-42=z-34
sinγ=1*412+22+42*02+02+12=0.873
γ =arcsin0.873=1.061
4) площадь грани A1A2A3
Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:
S=12*A1A2*A1A3
A1A2*A1A3=ijk520250=i*2*0-5*0- j*5*0-2*0+ k*5*5-2*2=21k
A1A2*A1A3=02+02+212=441=21
S=12*A1A2*A1A3=212
5) объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах A1A2x1;y1;z1, A1A3x2;y2;z2, A1A4x3;y3;z3 равен:
V=16*x1y1z1x2y2z2x3y3z3
V=16*520250124=16*5*5*4-2*0-2*2*4-2*0+1*2*0-5*0=846=14
6) уравнение высоты, опущенной из вершины A4 на грань A1A2A3
Прямая, проходящая через точку A4x4;y4;z4 и перпендикулярная плоскости Ax+By+Cz+D=0 имеет направляющий вектор A;B;C и, значит, представляется симметричными уравнениями:
Уравнение плоскости A1A2A3: z-3=0
x-x4A=y-y4B=z-z4C
x-30=y-60=z-71