Даны вершины A(0 0) B(2 5) C(5 0) треугольника ABC

1). Находим уравнения сторон треугольника и их длины по координатам вершин. Теоретические сведения.
Каноническое уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M(x1, y1) и N(x2, y2) имеет вид: (x – x1) / (x2 – x1) = (y – y1) / (y2 – y1). Посредством тождественных преобразований получаем общее уравнение прямой: (y2 – y1)·x – (x2 – x1)·y + y1·(x2 – x1) – x1·(y2 – y1) = 0.
Расстояние |MN| от точки M до точки N выражается формулой |MN| = (x2-x1)2+(y2-y1)2 .
1.1). Сторона AB: A(0; 0), B(2; 5); x1 = 0, y1 = 0; x2 = 2, y2 = 5.
Каноническое уравнение: (x – 0) / (2 – 0) = (y – 0) / (5 – 0); x / 2 = y / 5.
Общее уравнение: 5 · x – 2 · y + 0 = 0 или 5 · x – 2 · y = 0.
Длина: |AB| = (2-0)2+(5-0)2 = 29 .
1.2). Сторона BC: B(2; 5), C(5; 0); x1 = 2, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 0.
Каноническое уравнение:
(x – 2) / (5 – 2) = (y – 5) / (0 – 5); (x – 2) / 3 = (y – 5) / (–5).
Общее уравнение: 5 · x + 3 · y – 25 = 0.
Длина: |BC| = (5-2)2+(0-5)2 = 34 .
1.3). Сторона AC: A(0; 0), C(5; 0); x1 = 0, y1 = 0; x2 = 5, y2 = 0.
Каноническое уравнение: (x – 0) / (5 – 0) = (y – 0) / (0 – 0); x / 5 = y / 0.
Общее уравнение: 0 · x – 5 · y + 0 = 0 или y = 0.
Длина: |AC| = (5-0)2+(0-0)2 = 25 = 5.
2). Находим величину внутреннего угла A в радианах с точностью до 0,01. Теоретические сведения.
Рассмотрим векторы a =  x1· i + y1· j и b =  x2· i + y2· j. Известно, что их скалярное произведение вычисляется по формуле a·b = x1·x2 + y1·y2. С другой стороны, по определению, a·b = |a| · |b| · cos φ. Здесь 0 ≤ φ ≤ π – угол между векторами. Таким образом, косинус угла между векторами можно вычислить по формуле: cos φ = a·b / |a| / |b|.
Рассмотрим некоторый вектор a, начало которого находится в точке M(x1, y1), конец – в точке N(x2, y2) . Координаты этого вектора x = x2 – x1 и y = y2 – y1. Запись вектора в координатной форме имеет вид: a =  x· i + y· j.
Находим угол α между сторонами AB и AC.
В нашей задаче A(0; 0), B(2; 5), C(5; 0).
Искомый угол – это угол α между векторами AB и AC.
Вектор AB = (2 – 0) · i + (5 – 0) ·  j = 2 ·  i + 5 ·  j.
Вектор AC = (5 – 0) · i – (0 – 0) ·  j = 5 ·  i + 0 ·  j.
Модули векторов – это длины соответствующих сторон:
|AB| = 29 ; |AC| = 5. 
Скалярное произведение: AB·AC = 2 · 5 + 5 · 0 = 10.
Получаем: cos α = 10 / 29 / 5 = 0,3714.
Отсюда: α = arccos 0,3714 = 1,19 рад.
3). Находим уравнение медианы, проведенной из вершины A. Теоретические сведения.
Пусть медиана треугольника ABC проходит через вершину A(x1, y1) и середину противоположной стороны BC. Если координаты вершин противоположной стороны B(x2, y2) и C(x3, y3), то ее середина имеет координаты M(u, v), где u = (x2 + x3) / 2, v = (y2 + y3) / 2.
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки A(x1, y1) и M(u, v) имеет вид: (x – x1) / (u – x1) = (y – y1) / (v – y1).
Находим уравнение медианы из вершины A.
В нашей задаче A(0; 0), B(2; 5), C(5; 0).
Координаты точки M(u, v):
u = (2 + 5) / 2 = 3,5; v = (5 + 0) / 2 = 2,5.
Медиана проходит через точки A(0; 0) и M(3,5; 2,5). Ее уравнение имеет вид: (x – 0) / (3,5 – 0) = (y – 0) / (2,5 – 0).
После преобразований получаем: x / 3,5 = y / 2,5 – каноническое уравнение медианы; 5 · x – 7 · y = 0 – общее уравнение медианы.
4). Находим точку пересечения медиан треугольника. Теоретические сведения.
Известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром тяжести треугольника и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Рассмотрим медиану треугольника ABC, которая проходит через вершину A(x1, y1) и середину противоположной стороны BC