Даны векторы и в стандартном базисе пространства

А) Векторы образуют базис пространства , если их линейная комбинация равна нулю только при .
Уравнению соответствует система уравнений
α1-α3+α4=0,3α1+2α2+5α3+2α4=0,α2+2α4=0,-α1+2α2+3α4=0.
Эта однородная система имеет только нулевое (тривиальное) решение
, если её определитель не равен нулю, то есть
1105100-120023211≠0
Вычислим определитель, разложив его по элементам второй строки:
1032-115201-120203=-13+2∙1∙1-11352-103+-13+4∙2∙10-1325-120=
=-1-11352-103-210-1325-120=-1∙5203+1∙32-13+1∙35-10-
-2∙1∙2520-1∙32-12=-15-0+9+2+0+5-
-2∙0-10-6+2=-15+11+5-2-10-8=-31+36=5≠0.
Следовательно, заданные векторы образуют базис пространства .
б) Найдем координаты вектора в базисе из векторного уравнения .
Этому векторному уравнению соответствует система
α1∙1+α2∙0+α3∙-1+α4∙1=1,α1∙3+α2∙2+α3∙5+α4∙2=-1,α1∙0+α2∙1+α3∙0+α4∙2=0,α1∙(-1)+α2∙2+α3∙0+α4∙3=3.
Решив систему, находим α1=135 ; α2=565 ; α3=-4 ; α4=-285 .
Следовательно, разложение вектора по базису :
a=135e1+565e2-4e3-285e4 .
в) Если скалярное произведение в определено аналогично тому, как это было в , то
cosφ=e1 , e2e1∙e2=1∙0+3∙2+0∙1+-1∙212+32+02+-12∙02+22+12+22=411∙9=
=4311=41133≈0,4020 .
По таблице Брадиса найдем угол между векторами:
φ=66°18' .
Ответ: а) Заданные векторы образуют базис пространства ;
б) a=135e1+565e2-4e3-285e4 ; в) φ=66°18' .