Даны точка А (–5 0 –1) уравнение прямой

Угол между прямой и плоскостью
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N (A; B; C) можно найти по формуле:
sinγ=Al+Bm+CnA2+B2+C2l2+m2+n2
По условию задачи уравнение прямой имеет вид:
x+1-2=y1=z-1-2
Следовательно, l;m;n=(-2; 1;-2)
Уравнение плоскости имеет вид: -8x-4y+z+13=0
NA;B;C=(-8; -4;1)
sinγ=-8×-2+-4×1+1×-2-82+-42+12-22+12+-22=10818=0,393
γ=arccos0,393=66,88°
Уравнение прямой, проходящей через точку А перпендикулярно данной плоскости
Прямая, проходящая через точку А (x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:
x-x0A=y-y0B=z-z0C
плоскость: -8x-4y+z+13=0 NA;B;C=(-8; -4;1)
x-(-5)-8=y-0-4=z-(-1)1
AO: x+5-8=y-4=z+11
Уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно прямой
Уравнение плоскости, проходящей через точку А (x0;y0;z0) перпендикулярно прямой x-x0l=y-y0m=z-z0n, имеющей направляющий вектор (l; m; n) имеет вид:
lx-x0+my-y0+nz-z0=0
Координаты точки А (–5; 0; –1)
По условию задачи уравнение прямой имеет вид:
x+1-2=y1=z-1-2
Следовательно, l;m;n=(-2; 1;-2)
Получим:
-2x--5+1y-0-2z-(-2)=0
-2x+5+y-2z+2=0
-2x-10+y-2z-4=0
-2x+y-2z-14=0
Расстояние от точки до прямой
Уравнение прямой в общем виде:
x-x0l=y-y0m=z-z0n
гдеx0, y0,z0 – координаты точки, лежащей на прямой.
Из уравнения прямой получим:
sl;m;n=(-2; 1;-2) – направляющий вектор прямой;
A1-1;0;1 – точка, лежащая на прямой.
Тогда координаты вектора AA1 будут равны:
AA1= -1--5;0-0;1-(-1)=(4;0;2)
Расстояние d от точки А до прямой можно найти через площадь параллелограмма, построенного на векторах AA1 и s:
d=AA1×ss
Найдем векторное произведение AA1×s
AA1×s =ijkX AA1YAA1Z AA1XsYsZs
Получим:
AA1×s =ijk402-21-2=i×021-2-j×42-2-2+k×40-21=
=i0×(-2)-1×2-j4×(-2)-(-2)×2+k4×1-(-2)×0=
=-2i+4j+4k=-2;4;4
d=(-2)2+42+42(-2)2+12+(-2)2=369=63=2 (ед.)
Расстояние от точки до плоскости
Расстояние от точки А (x0; y0; z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 можно найти по формуле:
d(α,A)=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2
Уравнение плоскости: -8x-4y+z+13=0 NA;B;C=(-8; -4;1)
Координаты точки А (–5; 0; –1)
Получим:
d(α,A)=-8×-5-4×0-1+13(-8)2+(-4)2+12=5281=529 (ед.)
Уравнение прямой, проходящей через точку А параллельно данной прямой
Уравнение прямой в общем виде:
x-x0l=y-y0m=z-z0n
гдеl;m;n – координаты направляющего вектора s.
Для всех параллельных прямых можно использовать один направляющий вектор.
В нашем случае sl;m;n=(-2; 1;-2) – направляющий вектор прямой.
Следовательно, уравнение прямой, проходящей через точку А (x0;y0;z0) и параллельной прямой x+1-2=y1=z-1-2 имеет вид:
x-(-5)-2=y-01=z-(-1)-2
x+5-2=y1=z+1-2
Уравнение плоскости, проходящей через точку А параллельно данной плоскости, прямой
Плоскость, проходящая через точку А (x0;y0;z0) и параллельная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется уравнением:
Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0
Уравнение плоскости имеет вид: -8x-4y+z+13=0
NA;B;C=(-8; -4;1)
Получим:
-8x-(-5)-4y-0+1z-(-1)=0
-8x+5-4y+1z+1=0
-8x-40-4y+z+1=0
-8x-4y+z-39=0
ОТВЕТ:
γ=66,88°
AO: x+5-8=y-4=z+11
-2x+y-2z-14=0
d=2 (ед.)
d(α,A)=529 (ед.)
x+5-2=y1=z+1-2
-8x-4y+z-39=0